मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी
χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय
यदि χ² > χ²crit हो तो H0 अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

अवलोकन में व्यवहार श्रेणियों को आँकड़े एकत्र करने से पहले संक्रियात्मक रूप से परिभाषित क्यों किया जाता है?

  1. Aताकि अवलोकन एक प्रयोग बन जाए
  2. Bताकि आँकड़े देखने के बाद परिकल्पना बदली जा सके
  3. Cताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे
  4. Dताकि प्रतिभागी ठीक-ठीक जानें कि क्या दर्ज हो रहा है
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

गुणात्मक शोध में आत्म-परावर्तन (reflexivity) का अर्थ है कि शोधकर्ता:

  1. Aविषयों को संख्यात्मक आँकड़ों में बदलता है
  2. Bविश्वसनीयता जाँचने के लिए अध्ययन दोहराता है
  3. Cइस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं
  4. Dपक्षपात हटाने के लिए यादृच्छिक प्रतिदर्श का उपयोग करता है
3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
1520253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 46, 15, 20, 40, 51, 35।

n = 6
s =
4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 25 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 487.5 से कम है?

μ = 500σ = 25x = 487.5
P =
5.प्रायिकतामध्यम
xp(x)100.3200.35300.25400.1μ = 21.5

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.35, 0.25, 0.1
Var(X) =
6.प्रायिकताकठिन
n = 9, p = 0.5: P(X = 2) = ?k0123456789

एक परीक्षा में 9 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.5 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 2 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 9p = 0.5k = 2
P =
7.प्रसामान्य बंटनमध्यम
488520P = ?

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 488 और 520 h के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 500σ = 40x1 = 488x2 = 520
P =
8.प्रसामान्य बंटनकठिन
157164171178185192199cmऊपर 30%

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई औसत 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 30% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 10, s = 13.5LU = ?x̄ = 48.5E99%

10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 48.5 और मानक विचलन s = 13.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 10x̄ = 48.5s = 13.599%t(9) = 3.25
ऊपरी सीमा =
10.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 13, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.595%

समष्टि मानक विचलन 13 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो?

σ = 13E = 0.595%
n =
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.0932.093t = ?df = 19

20 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −1.72 और अंतरों का मानक विचलन 9.6 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 20d̄ = −1.72sd = 9.6
t =
12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.595%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो? मानक विचलन 8 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 8E = 0.595%
n =
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy26447267889910103xy51080100

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 30Σy = 416Σx² = 220Σy² = 35774Σxy = 2706
r =
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy284146228261031xy510102030x = 3

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (3, 14) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(3, 14)
e =
15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम
बससाइकिलकारकुलछात्र77376120कर्मचारी333440कुल804040160

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1602 × 3
χ² =
16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

2 पंक्तियों और 3 स्तंभों (योगों को छोड़कर) वाली एक आसंग तालिका पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है। तालिका का उपयोग करके सार्थकता स्तर α = 0.05 पर क्रांतिक मान χ²crit ज्ञात कीजिए।

α = 0.05
χ²crit =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · ताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे

यह उत्तर क्यों है

स्पष्ट, अवलोकनीय श्रेणियाँ (जैसे "खुले हाथ से मारना") व्यक्तिपरक निर्णय घटाती हैं और अंतर-पर्यवेक्षक विश्वसनीयता बढ़ाती हैं।

उत्तर

C · ताकि पर्यवेक्षक एक ही व्यवहार लगातार दर्ज करें, जिससे विश्वसनीयता सुधरे
2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · इस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

आत्म-परावर्तन आँकड़ा संग्रह और व्याख्या पर शोधकर्ता के प्रभाव को स्वीकार करता है, और गुणात्मक कार्य में एक प्रमुख गुणवत्ता मानदंड है।

उत्तर

C · इस पर विचार करता है कि उसकी अपनी पृष्ठभूमि और मान्यताएँ विश्लेषण को कैसे आकार दे सकती हैं
3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.32

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 207/6 = 34.5

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 11.5² + (−19.5)² + (−14.5)² + 5.5² + 16.5² + 0.5² = 1026

मानक विचलन

s = √(1026/5) = 14.32

उत्तर

s = 14.32
4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.3085

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −0.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085

उत्तर

P = 0.3085
5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 92.75

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 10·0.3 + 20·0.35 + 30·0.25 + 40·0.1 = 21.5

वर्गों का माध्य

E(X²) = 100·0.3 + 400·0.35 + 900·0.25 + 1600·0.1 = 555

प्रसरण

Var(X) = 555 − 21.5² = 92.75

उत्तर

Var(X) = 92.75
6.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.07031

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 2) = 36·0.52·0.57 = 36·0.25·0.007813 = 0.07031

उत्तर

P = 0.07031
7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.3094

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (488 − 500)/40 = −0.3
z₂ = (520 − 500)/40 = 0.5

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.5) − Φ(−0.3) = 0.6915 − 0.3821 = 0.3094

उत्तर

P = 0.3094
8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 181.6 cm

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.7

सारणी से z

z ≈ 0.52

मूल इकाइयों में वापस

x = 178 + 0.52·7 = 181.6 cm

उत्तर

x = 181.6 cm
9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 62.37

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 9, t = 3.25

त्रुटि सीमा

E = 3.25·13.5/√10 = 13.87

अंतराल

48.5 ± 13.87 → [34.63, 62.37]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 62.37
10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 2597

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.96·13/0.5)² = 2597

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 2597

उत्तर

n = 2597
11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −0.8013

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 9.6/√20 = 2.147

परीक्षण सांख्यिकी

t = −1.72/2.147 = −0.8013

उत्तर

t = −0.8013

df = 19 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.093 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 984

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.96·8/0.5)² = 983.4

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 984

उत्तर

n = 984
13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9737

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 2706 − 30·416/5 = 210
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 35774 − 416²/5 = 1163

सहसंबंध गुणांक

r = 210/√(40·1163) = 0.9737

उत्तर

r = 0.9737
14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 2.5

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 101/5 = 20.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

समाश्रयण रेखा

b = 116/40 = 2.9
a = 20.2 − 2.9·6 = 2.8
ŷ = 2.8 + 2.9·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 2.8 + 2.9·3 = 11.5

अवशिष्ट

e = 14 − 11.5 = 2.5

उत्तर

e = 2.5

बिंदु रेखा के ऊपर है।

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 102.6

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

छात्र: 120·80/160 = 60, 120·40/160 = 30, 120·40/160 = 30
कर्मचारी: 40·80/160 = 20, 40·40/160 = 10, 40·40/160 = 10

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (77 − 60)²/60 + (37 − 30)²/30 + (6 − 30)²/30 + (3 − 20)²/20 + (3 − 10)²/10 + (34 − 10)²/10
χ² = 102.6

उत्तर

χ² = 102.6

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ²crit = 5.991

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

स्वातंत्र्य कोटि

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

तालिका

χ²crit(df = 2, α = 0.05) = 5.991

उत्तर

χ²crit = 5.991

यदि परिकलित χ² इस मान से बड़ा है तो H₀ अस्वीकार करें।

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