मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

विशेषज्ञ जाँचते हैं कि गणित परीक्षा के मद पाठ्यक्रम के सभी विषयों को कवर करते हैं या नहीं। यह किसका आकलन है?

Aविषयवस्तु वैधता
Bपारिस्थितिक वैधता
Cभविष्यसूचक वैधता
Dपरीक्षण-पुनःपरीक्षण विश्वसनीयता

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

एक शोधकर्ता उदास फ़िल्म दिखाकर मनोदशा में हेरफेर करता है, फिर मुख्य कार्य से पहले प्रतिभागियों से पूछता है कि वे कितना उदास महसूस करते हैं। यह रेटिंग क्यों शामिल की गई है?

Aअध्ययन के मुख्य आश्रित चर के रूप में
Bप्रतिभागियों को उद्देश्यों के बारे में डीब्रीफ़ करने के लिए
Cस्थितियों के क्रम का प्रति-संतुलन करने के लिए
Dहेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 30, 30, 18, 28, 43।

n = 5

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 65 से कम है?

μ = 70σ = 5x = 65

P =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.3, 0.35, 0.1

Var(X) =

6.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 10X + 4। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 10X + 4

σ_Y =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.2358 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.2358

z =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

थैलों के भार औसत 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 80% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

20 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 6.7 और मानक विचलन 8 है। माध्य अंतर के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 20d̄ = 6.7s_d = 890%t(19) = 1.729

निचली सीमा = mmHg

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 14 प्लॉट, माध्य उपज 24 kg, मानक विचलन 8.5 kg। प्लॉट समूह 2: 8 प्लॉट, माध्य 14.5 kg, मानक विचलन 4.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 14x̄₁ = 24s₁ = 8.5n₂ = 8x̄₂ = 14.5s₂ = 4.590%t(20) = 1.725

निचली सीमा = kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

15 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −2.32 और अंतरों का मानक विचलन 3.9 है। H₀: μ_d = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 15d̄ = −2.32s_d = 3.9

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 90% शक्ति के साथ माध्य में 2 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 12 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 90%δ = 2σ = 12z_α = 1.645z_β = 1.282

n =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 2 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 2

ŷ =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1402 × 2

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। α = 0.05 पर परीक्षण कीजिए कि दोनों चर स्वतंत्र हैं या नहीं (सांतत्य संशोधन के बिना)। परीक्षण प्रतिदर्शज χ² निकालिए, फिर उसकी तुलना तालिका के क्रांतिक मान से कीजिए।

N = 2603 × 2α = 0.05

χ² =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: A · विषयवस्तु वैधता

यह उत्तर क्यों है

विषयवस्तु वैधता वह सीमा है जिस तक कोई माप संरचना के सभी प्रासंगिक पहलुओं को कवर करता है, जिसका आकलन आमतौर पर विशेषज्ञ करते हैं।

उत्तर

A · विषयवस्तु वैधता

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: D · हेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया

यह उत्तर क्यों है

हेरफेर जाँच सत्यापित करती है कि IV ने इच्छित मनोवैज्ञानिक अवस्था उत्पन्न की। इसके बिना शून्य परिणाम का अर्थ यह हो सकता है कि हेरफेर विफल रहा।

उत्तर

D · हेरफेर जाँच (manipulation check) के रूप में, यह पुष्टि करने के लिए कि IV ने इच्छित रूप से काम किया

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 8.899

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 149/5 = 29.8

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 0.2² + 0.2² + (−11.8)² + (−1.8)² + 13.2² = 316.8

मानक विचलन

s = √(316.8/4) = 8.899

उत्तर

s = 8.899

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.1587

मानकीकृत करें

z = −1

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1) = 0.1587

P = 0.1587

उत्तर

P = 0.1587

5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 91

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 10·0.25 + 20·0.3 + 30·0.35 + 40·0.1 = 23

वर्गों का माध्य

E(X²) = 100·0.25 + 400·0.3 + 900·0.35 + 1600·0.1 = 620

प्रसरण

Var(X) = 620 − 23² = 91

उत्तर

Var(X) = 91

6.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 8.047

X का फैलाव

μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |10|·0.8047 = 8.047

उत्तर

σ_Y = 8.047

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 10·0.95 + 4 = 13.5।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.3

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.2358)/2 = 0.6179

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.6179 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.30

उत्तर

z = 0.30

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 245.8 g

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.2

सारणी से z

z ≈ −0.84

मूल इकाइयों में वापस

x = 250 − 0.84·5 = 245.8 g

उत्तर

x = 245.8 g

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 3.607 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 19, t = 1.729

त्रुटि सीमा

E = 1.729·8/√20 = 3.093

अंतराल

6.7 ± 3.093 → [3.607, 9.793]

उत्तर

निचली सीमा = 3.607 mmHg

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 3.879 kg

संयुक्त मानक विचलन

s_p² = (13·8.5² + 7·4.5²)/20 = 54.05

s_p = 7.352

त्रुटि सीमा

E = 1.725·7.352·√(1/14 + 1/8) = 5.621

अंतराल

9.5 ± 5.621 → [3.879, 15.12]

उत्तर

निचली सीमा = 3.879 kg

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.304

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 3.9/√15 = 1.007

परीक्षण सांख्यिकी

t = −2.32/1.007 = −2.304

उत्तर

t = −2.304

df = 14 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.145 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 309

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 1.282)·12/2)² = 308.4

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 309

उत्तर

n = 309

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.7021

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 136/6 = 22.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 59.33

निर्धारण गुणांक

r² = −27²/(17.5·59.33) = 0.7021

उत्तर

r² = 0.7021

y के विचरण का लगभग 70.21% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 49.5

माध्य

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 291/5 = 58.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

समाश्रयण रेखा

b = 116/40 = 2.9

a = 58.2 − 2.9·5 = 43.7

ŷ = 43.7 + 2.9·x

पूर्वानुमान

ŷ = 43.7 + 2.9·2 = 49.5

उत्तर

ŷ = 49.5

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 1.944

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

नई दवा: 80·56/140 = 32, 80·84/140 = 48

प्लेसिबो: 60·56/140 = 24, 60·84/140 = 36

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (28 − 32)²/32 + (52 − 48)²/48 + (28 − 24)²/24 + (32 − 36)²/36

χ² = 1.944

उत्तर

χ² = 1.944

df = 1। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 3.841 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत नहीं है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 19.53

अपेक्षित गणनाएँ

लाइन 1: 75, 25

लाइन 2: 60, 20

लाइन 3: 60, 20

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (90 − 75)²/75 + (10 − 25)²/25 + (53 − 60)²/60 + (27 − 20)²/20 + (52 − 60)²/60 + (28 − 20)²/20

χ² = 19.53

निर्णय

df = 2, χ²_crit = 5.991

19.53 > 5.991

उत्तर

χ² = 19.53

χ² क्रांतिक मान से अधिक है, इसलिए H₀ अस्वीकृत है: चर संबंधित प्रतीत होते हैं।

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