मनोविज्ञान के लिए शोध विधियाँ और सांख्यिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

काई-वर्ग परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी: χ² = Σ(O − E)²/E
समंजन सुष्ठुता: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
स्वतंत्रता: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
क्रांतिक मान (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
निर्णय: यदि χ² > χ²_crit हो तो H₀ अस्वीकार करें

2अभ्यास प्रश्न

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँमध्यम

प्रयोगकर्ता पक्षपात सबसे सीधे किससे घटता है?

Aएक-पुच्छीय परिकल्पना का उपयोग
Bकेवल स्वयंसेवकों का उपयोग
Cआँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता
Dबड़े प्रतिदर्श का उपयोग

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँकठिन

आँकड़ों का विश्लेषण करने के बाद एक शोधकर्ता भूमिका ऐसे लिखता है मानो एक अप्रत्याशित निष्कर्ष की भविष्यवाणी शुरू से की गई थी। इसे क्या कहते हैं?

Aडीब्रीफ़िंग
BHARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)
Cसंक्रियाकरण
Dप्रति-संतुलन

3.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 21, 25, 52, 51, 11, 22, 13।

n = 7

s =

4.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 100 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 700 से कम है?

μ = 500σ = 100x = 700

P =

5.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.2, 0.25

Var(X) =

6.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = −2X + 10। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.15, 0.35, 0.25, 0.2Y = −2X + 10

σ_Y =

7.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0838 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.0838

z =

8.प्रसामान्य बंटनकठिन

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई औसत 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 60% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

9.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

ज्ञात σ और 64 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 2 है। यदि वही अध्ययन इसके बजाय 256 प्रेक्षणों का उपयोग करे, तो त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

95%n₁ = 64E₁ = 2n₂ = 256

E₂ =

10.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 17 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो?

σ = 17E = 299%

n =

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

49 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 46.23 और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 है। H₀: μ = 50 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 50x̄ = 46.23s = 12n = 49

t =

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1.5 हो? मानक विचलन 10 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 10E = 1.590%

n =

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 5.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 5.5

ŷ =

15.काई-वर्ग परीक्षणमध्यम

आसंग तालिका प्रेक्षित गणनाएँ दिखाती है। पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण के लिए काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² निकालिए। सांतत्य संशोधन का उपयोग न करें।

N = 1602 × 3

χ² =

16.काई-वर्ग परीक्षणकठिन

एक काई-वर्ग समंजन सुष्ठुता परीक्षण 6 श्रेणियों में प्रेक्षित गणनाओं की तुलना पूर्णतः निर्दिष्ट अपेक्षित अनुपातों से करता है (आँकड़ों से कोई प्राचल आकलित नहीं किया जाता)। परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटि df कितनी है?

k = 6

df =

3विलयन

1.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: C · आँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता

यह उत्तर क्यों है

परिकल्पना जानने वाले प्रयोगकर्ता अनजाने में प्रतिभागियों या अभिलेखों को प्रभावित कर सकते हैं। एकल- या द्वि-अंध प्रक्रियाएँ और मानकीकृत निर्देश इसे घटाते हैं।

उत्तर

C · आँकड़े एकत्र करने के लिए ऐसे शोधकर्ता का उपयोग जो परिकल्पना या स्थितियाँ नहीं जानता

2.मनोविज्ञान में अनुसंधान विधियाँ

उत्तर: B · HARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)

यह उत्तर क्यों है

HARKing अन्वेषणात्मक परिणामों को पुष्टिकारी के रूप में प्रस्तुत करता है, जिससे निष्कर्ष वास्तविकता से अधिक मज़बूत दिखते हैं। यह पुनरुत्पादन संकट (replication crisis) में योगदान देता है।

उत्तर

B · HARKing (परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना बनाना)

3.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.9

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 195/7 = 27.86

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−6.857)² + (−2.857)² + 24.14² + 23.14² + (−16.86)² + (−5.857)² + (−14.86)² = 1713

मानक विचलन

s = √(1713/6) = 16.9

उत्तर

s = 16.9

4.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9772

मानकीकृत करें

z = 2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

उत्तर

P = 0.9772

5.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.247

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.2 + 4·0.25 = 2.45

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.2 + 16·0.25 = 7.25

प्रसरण

Var(X) = 7.25 − 2.45² = 1.247

उत्तर

Var(X) = 1.247

6.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 2.227

X का फैलाव

μ = 3.4, Var(X) = 1.24, σ_X = 1.114

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |−2|·1.114 = 2.227

उत्तर

σ_Y = 2.227

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = −2·3.4 + 10 = 3.2।

7.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 1.38

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.0838 = 0.9162

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9162 खोजें और z पढ़ें।

z = 1.38

उत्तर

z = 1.38

8.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 176.3 cm

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.4

सारणी से z

z ≈ −0.25

मूल इकाइयों में वापस

x = 178 − 0.25·7 = 176.3 cm

उत्तर

x = 176.3 cm

9.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 1

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(64/256) = 0.5

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 2·0.5 = 1

उत्तर

E₂ = 1

10.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 480

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·17/2)² = 479.4

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 480

उत्तर

n = 480

11.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.199

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714

परीक्षण सांख्यिकी

t = (46.23 − 50)/1.714 = −2.199

उत्तर

t = −2.199

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

12.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 121

n ज्ञात करें

n = (1.645·10/1.5)² = 120.3

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 121

उत्तर

n = 121

13.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9806

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 90/5 = 18

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 392

निर्धारण गुणांक

r² = 124²/(40·392) = 0.9806

उत्तर

r² = 0.9806

y के विचरण का लगभग 98.06% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

14.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 70.96

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 362/6 = 60.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93

समाश्रयण रेखा

b = 93/17.5 = 5.314

a = 60.33 − 5.314·3.5 = 41.73

ŷ = 41.73 + 5.314·x

पूर्वानुमान

ŷ = 41.73 + 5.314·5.5 = 70.96

उत्तर

ŷ = 70.96

15.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: χ² = 26.67

काई-वर्ग परीक्षण: प्रेक्षित गणनाओं O की तुलना H₀ के अंतर्गत अपेक्षित गणनाओं E से χ² = Σ(O − E)²/E द्वारा करें। समंजन सुष्ठुता: हर श्रेणी के लिए E = n·p, df = k − 1 (आँकड़ों से आकलित हर प्राचल के लिए एक और कम)। r × c तालिका में स्वतंत्रता: E = पंक्ति योग × स्तंभ योग / कुल योग, df = (r − 1)(c − 1)। जब χ² चुने गए α के क्रांतिक मान से अधिक हो, तो H₀ अस्वीकार करें।

अपेक्षित गणनाएँ

छात्र: 80·48/160 = 24, 80·48/160 = 24, 80·64/160 = 32

कर्मचारी: 80·48/160 = 24, 80·48/160 = 24, 80·64/160 = 32

काई-वर्ग प्रतिदर्शज

χ² = (16 − 24)²/24 + (16 − 24)²/24 + (48 − 32)²/32 + (32 − 24)²/24 + (32 − 24)²/24 + (16 − 32)²/32

χ² = 26.67

उत्तर

χ² = 26.67

df = 2। α = 0.05 पर क्रांतिक मान 5.991 है, इसलिए H₀ (स्वतंत्रता) अस्वीकृत है।

16.काई-वर्ग परीक्षण

उत्तर: df = 5

स्वातंत्र्य कोटि

df = 6 − 1 = 5

उत्तर

df = 5

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