सिग्नल और तंत्र: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संवलन और LTI तंत्र

असतत संवलन
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
संतत संवलन
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
लंबाई और योग
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
आरंभ, अंत और क्षेत्रफल
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t) में सोपान
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
प्रथम-कोटि तंत्र
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
प्रथम-कोटि पुनरावृत्ति
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t) से गुज़रता ज्यावक्रीय संकेत
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
फूरिए श्रेणी के आयाम
वर्ग ±A: 4A/(kπ), विषम k; त्रिभुज ±A: 8A/(π²k²), विषम k; स्पंद श्रेणी: A·D और (2A/(kπ))|sin kπD|

विधि

  1. दोनों संकेतों का आरेख बनाइए और देखिए कि हर एक कहाँ अशून्य है।
  2. h को उलटिए और खिसकाइए: हर निर्गत समय के लिए वह परास ढूँढिए जहाँ दोनों संकेत अतिव्यापी हों।
  3. केवल उसी अतिव्यापन पर गुणा करके जोड़िए (असतत) या गुणा करके समाकलन कीजिए (संतत)।
  4. परिणाम जाँचिए: निर्गत आरंभ-समयों के योग पर शुरू होता है, अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है, और उसका क्षेत्रफल या योग निवेशों के क्षेत्रफलों या योगों का गुणनफल होता है।

2अभ्यास प्रश्न

1.संवलन और LTI तंत्रमध्यम
x(t)t1h(t)t1

निवेश x(t) = 1·e−5tu(t) को h(t) = e−2tu(t) वाले तंत्र पर लगाया जाता है। t = 2 s पर निर्गत y(2) ज्ञात कीजिए।

x(t) = 1·e−5tu(t)h(t) = e−2tu(t)t = 2 s
y(2) =
2.संवलन और LTI तंत्रकठिन
x(t)t (ms)25103

एक स्पंद श्रेणी की ऊँचाई 3, स्पंद चौड़ाई 2 ms और आवर्तकाल 5 ms है। इसका DC घटक (माध्य मान) c0 ज्ञात कीजिए।

A = 3τ = 2 msT = 5 ms
c0 =
3.लाप्लास रूपांतरमध्यम
ReIm−2−4−6−8−10

वर्ग पूरा करके F(s) = (2s + 18)/(s² + 2s + 2) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.6) का मान निकालिए।

F(s) = (2s + 18)/(s² + 2s + 2)t = 0.6 s
f(0.6) =
4.लाप्लास रूपांतरकठिन
t (s)y(t)t = 0.8y(0.8) = ?

एक तंत्र y″ + 6y′ + 5y = 2.5·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 10 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.8) ज्ञात कीजिए।

y″ + 6y′ + 5y = 2.5·u(t)u(t) = 10y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.8 s
y(0.8) =
5.सोपान अनुक्रियामध्यम
t (s)y(t)3?

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 234/(s² + 7s + 78) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।

G(s) = 234/(s² + 7s + 78)
%OS = %
6.सोपान अनुक्रियाकठिन
k = 1000 N/mc = 25 N·s/mm = 4 kgF = 50 Nx(t)

एक द्रव्यमान m = 4 kg एक स्प्रिंग k = 1000 N/m पर एक श्यान अवमंदक c = 25 N·s/m के साथ लटका है (m·x″ + c·x′ + k·x = F)। संतुलन में विराम की अवस्था में अचानक एक स्थिर बल F = 50 N लगाया जाता है। सबसे बड़ा विस्थापन xmax mm में ज्ञात कीजिए।

m = 4 kgk = 1000 N/mc = 25 N·s/mF = 50 N
xmax = mm
7.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम
vin​L = 1 mHC = 1 µFR = 1 Ωvout​

दर्शाए गए श्रेणी RLC बैंड-पारक फ़िल्टर में निर्गम R = 1 Ω के आर-पार लिया गया है, L = 1 mH और C = 1 µF के साथ। −3 dB बैंडविड्थ BW Hz में ज्ञात कीजिए।

R = 1 ΩL = 1 mHC = 1 µF
BW = Hz
8.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = K/(s(s + 8)(s + 9)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 12 dB की लब्धि सीमा देती है।

L(s) = K/(s(s + 8)(s + 9))GM = 12 dB
K =

3विलयन

1.संवलन और LTI तंत्र

उत्तर: y(2) = 0.00609

संतत संवलन: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ। h को उलटिए, उसे स्थिति t तक खिसकाइए और अतिव्यापी भागों के गुणनफल का समाकलन कीजिए। कार्य-कारण संकेतों के लिए समाकल 0 से t तक चलता है। उपयोगी परिणाम: y का क्षेत्रफल x के क्षेत्रफल गुणा h के क्षेत्रफल के बराबर होता है; यदि x, t₁ से t₂ तक रहता है और h, t₃ से t₄ तक, तो y, t₁ + t₃ से t₂ + t₄ तक रहता है। h(t) = e−atu(t) और ऊँचाई A के सोपान के लिए y(t) = (A/a)(1 − e−at)।

संवलन समाकल

y(t) = 1e−2t∫₀ᵗ e−(5 − 2)τ dτ = 1(e−2t − e−5t)/(3)

मान निकालें

y(2) = 1·(0.01832 − 4.54 × 10⁻⁵)/(3) = 0.00609

उत्तर

y(2) = 0.00609
2.संवलन और LTI तंत्र

उत्तर: c0 = 1.2

आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी: आवेग अनुक्रिया h(t) किसी LTI तंत्र का पूरा वर्णन करती है: y′ + a·y = b·x के लिए यह h(t) = b·e−atu(t) है, और y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] के लिए h[n] = b·aⁿu[n]। ज्यावक्रीय cos ωt लब्धि |H(jω)| और कला ∠H(jω) के साथ गुज़रता है, जहाँ H, h का फूरिए रूपांतर है। आवर्ती संकेत k/T पर हार्मोनिकों का योग है: ±A का वर्ग तरंग केवल विषम हार्मोनिक रखता है जिनके आयाम 4A/(kπ) हैं, शिखर A की त्रिभुज तरंग में 8A/(π²k²) होता है, और ऊँचाई A तथा कर्तव्य चक्र D की स्पंद श्रेणी का माध्य A·D और हार्मोनिक (2A/(kπ))·|sin(kπD)| होते हैं।

कर्तव्य चक्र

D = 2/5 = 0.4

माध्य मान

c₀ = 3·0.4 = 1.2

उत्तर

c0 = 1.2
3.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(0.6) = 5.864

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।

वर्ग पूरा करें

s² + 2s + 2 = (s + 1)² + 1 = (s + 1)² + 1²

अंश का मिलान करें

F(s) = 2·(s + 1)/((s + 1)² + 1²) + (16/1)·1/((s + 1)² + 1²)

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = e−t·(2·cos 1t + 16·sin 1t)
f(0.6) = e−0.6·(2·cos(1·0.6) + 16·sin(1·0.6)) = 5.864

उत्तर

f(0.6) = 5.864
4.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.8) = 2.215

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।

समीकरण का रूपांतर करें

Y(s) = 25/(s(s + 1)(s + 5))

आंशिक भिन्न

A = 25/(1·5) = 5
B = 25/((−1)·4) = −6.25
C = 25/((−5)·(−4)) = 1.25

निर्गम

y(t) = 5 − 6.25·e−t + 1.25·e−5t
y(0.8) = 2.215

उत्तर

y(0.8) = 2.215
5.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: %OS = 25.77 %

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 78 → ωₙ = 8.832 rad/s
2ζωₙ = 7 → ζ = 7/(2·8.832) = 0.3963

परिणाम

%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1.356 = 25.77 %

उत्तर

%OS = 25.77 %
6.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: xmax = 76.54 mm

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

प्राकृतिक आवृत्ति और अवमंदन अनुपात

ωₙ = √(k/m) = √(1000/4) = 15.81 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 25/(2·√(1000·4)) = 0.1976

परिणाम

xst = F/k = 50/1000 m = 50 mm
%OS = 53.08 %
xmax = 50·(1 + 0.5308) = 76.54 mm

उत्तर

xmax = 76.54 mm
7.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: BW = 159.2 Hz

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

अनुनादी आवृत्ति

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.001·1 × 10⁻⁶) = 31623 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 5033 Hz

बैंडविड्थ

BW = R/L = 1/0.001 = 1000 rad/s = 159.2 Hz

उत्तर

BW = 159.2 Hz
8.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: K = 307.5

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

कला क्रॉसओवर

(ω/8)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(8·9) = 8.485 rad/s

कला क्रॉसओवर पर परिमाण

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 64)·√(ω² + 81)) = K/(8·9·(8 + 9)) = K/1224

आवश्यक लब्धि

1224/K = 1012/20 = 3.981
K = 1224/3.981 = 307.5

उत्तर

K = 307.5

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