सिग्नल और तंत्र: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संवलन और LTI तंत्र

असतत संवलन: y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
संतत संवलन: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
लंबाई और योग: L_y = L_x + L_h − 1, Σy = Σx·Σh
आरंभ, अंत और क्षेत्रफल: t₁ + t₃ … t₂ + t₄, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t) में सोपान: y(t) = (A/a)(1 − e^−at)
प्रथम-कोटि तंत्र: y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e^−atu(t)
प्रथम-कोटि पुनरावृत्ति: y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t) से गुज़रता ज्यावक्रीय संकेत: |H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
फूरिए श्रेणी के आयाम: वर्ग ±A: 4A/(kπ), विषम k; त्रिभुज ±A: 8A/(π²k²), विषम k; स्पंद श्रेणी: A·D और (2A/(kπ))|sin kπD|

विधि

दोनों संकेतों का आरेख बनाइए और देखिए कि हर एक कहाँ अशून्य है।
h को उलटिए और खिसकाइए: हर निर्गत समय के लिए वह परास ढूँढिए जहाँ दोनों संकेत अतिव्यापी हों।
केवल उसी अतिव्यापन पर गुणा करके जोड़िए (असतत) या गुणा करके समाकलन कीजिए (संतत)।
परिणाम जाँचिए: निर्गत आरंभ-समयों के योग पर शुरू होता है, अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है, और उसका क्षेत्रफल या योग निवेशों के क्षेत्रफलों या योगों का गुणनफल होता है।

2अभ्यास प्रश्न

1.संवलन और LTI तंत्रमध्यम

एक तंत्र की आवेग अनुक्रिया h(t) = e^−5tu(t) है। निवेश सोपान x(t) = 10·u(t) है। t = 0.8 s पर निर्गत y(0.8) ज्ञात कीजिए।

h(t) = e^−5tu(t)x(t) = 10·u(t)t = 0.8 s

y(0.8) =

2.संवलन और LTI तंत्रकठिन

एक तंत्र y[n] = −0.8·y[n − 1] + 0.5·x[n] का पालन करता है और विरामावस्था से शुरू होता है। इसका आवेग अनुक्रिया नमूना h[3] ज्ञात कीजिए।

y[n] = −0.8y[n − 1] + 0.5x[n]x[n] = δ[n]

h[3] =

3.लाप्लास रूपांतरमध्यम

F(s) = (6s + 5)/(s² + 5s + 4)। इसका प्रतिलोम रूपांतर f(t) = A·e^−t + B·e^−4t के रूप का है। आंशिक भिन्नों से गुणांक A ज्ञात कीजिए।

F(s) = (6s + 5)/(s² + 5s + 4)

A =

4.लाप्लास रूपांतरकठिन

लाप्लास रूपांतर से y(0) = 5 और y′(0) = −7 के साथ y″ + 7y′ + 6y = 0 हल कीजिए, और y(1.2) ज्ञात कीजिए।

y″ + 7y′ + 6y = 0y(0) = 5y′(0) = −7t = 1.2 s

y(1.2) =

5.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 4/(s² + 2s + 4) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का शिखर समय t_p ज्ञात कीजिए।

G(s) = 4/(s² + 2s + 4)

t_p = s

6.सोपान अनुक्रियाकठिन

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 220/(s(s + 4)) है। t_s ≈ 4/(ζωₙ) का उपयोग करके संवृत-लूप सोपान अनुक्रिया का 2 % स्थिरीकरण समय t_s ज्ञात कीजिए।

G(s) = 220/(s(s + 4))

t_s = s

7.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम

दर्शाए गए RC उच्च-पारक फ़िल्टर में R = 22 kΩ, C = 10 nF है। 180 Hz का एक ज्यावक्रीय निवेश लगाया जाता है। dB में लब्धि |H| = |v_out/v_in| ज्ञात कीजिए।

R = 22 kΩC = 10 nFf = 180 Hz

|H| = dB

8.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन

एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 10 dB की लब्धि सीमा देती है।

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6))GM = 10 dB

K =

3विलयन

1.संवलन और LTI तंत्र

उत्तर: y(0.8) = 1.963

संतत संवलन: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ। h को उलटिए, उसे स्थिति t तक खिसकाइए और अतिव्यापी भागों के गुणनफल का समाकलन कीजिए। कार्य-कारण संकेतों के लिए समाकल 0 से t तक चलता है। उपयोगी परिणाम: y का क्षेत्रफल x के क्षेत्रफल गुणा h के क्षेत्रफल के बराबर होता है; यदि x, t₁ से t₂ तक रहता है और h, t₃ से t₄ तक, तो y, t₁ + t₃ से t₂ + t₄ तक रहता है। h(t) = e^−atu(t) और ऊँचाई A के सोपान के लिए y(t) = (A/a)(1 − e^−at)।

सोपान के साथ संवलन

y(t) = 10·∫₀ᵗ e^−5τ dτ = (10/5)·(1 − e^−5t)

मान निकालें

y(0.8) = 2·(1 − e⁻⁴) = 1.963

उत्तर

y(0.8) = 1.963

2.संवलन और LTI तंत्र

उत्तर: h[3] = −0.256

आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी: आवेग अनुक्रिया h(t) किसी LTI तंत्र का पूरा वर्णन करती है: y′ + a·y = b·x के लिए यह h(t) = b·e^−atu(t) है, और y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] के लिए h[n] = b·aⁿu[n]। ज्यावक्रीय cos ωt लब्धि |H(jω)| और कला ∠H(jω) के साथ गुज़रता है, जहाँ H, h का फूरिए रूपांतर है। आवर्ती संकेत k/T पर हार्मोनिकों का योग है: ±A का वर्ग तरंग केवल विषम हार्मोनिक रखता है जिनके आयाम 4A/(kπ) हैं, शिखर A की त्रिभुज तरंग में 8A/(π²k²) होता है, और ऊँचाई A तथा कर्तव्य चक्र D की स्पंद श्रेणी का माध्य A·D और हार्मोनिक (2A/(kπ))·|sin(kπD)| होते हैं।

पुनरावृत्ति

h[0] = 0.5

h[1] = −0.4

h[2] = 0.32

h[3] = −0.256

परिणाम

h[3] = 0.5·(−0.8)³ = −0.256

उत्तर

h[3] = −0.256

3.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: A = −0.3333

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

हर का गुणनखंड करें

s² + 5s + 4 = (s + 1)(s + 4)

F(s) = A/(s + 1) + B/(s + 4)

कवर-अप नियम

(s + 1) से गुणा करें और s = −1 रखें: B-पद लुप्त हो जाता है।

A = (6s + 5)/(s + 4) |_{s = −1} = −1/3 = −0.3333

उत्तर

A = −0.3333

(B = 6.333, इसलिए f(t) = −0.3333·e^−t + 6.333·e^−4t)

4.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(1.2) = 1.386

समीकरण का रूपांतर करें

s²Y − 5s − (−7) + 7(sY − 5) + 6Y = 0

Y(s) = (5s + 28)/((s + 1)(s + 6))

आंशिक भिन्न

A = 23/5 = 4.6

B = −2/(−5) = 0.4

परिणाम

y(t) = 4.6·e^−t + 0.4·e^−6t

y(1.2) = 1.386

उत्तर

y(1.2) = 1.386

जाँच: y(0) = A + B = 5।

5.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: t_p = 1.814 s

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 4 → ωₙ = 2 rad/s

2ζωₙ = 2 → ζ = 2/(2·2) = 0.5

परिणाम

ω_d = 2·√(1 − 0.5²) = 1.732 rad/s → t_p = π/ω_d = 1.814 s

उत्तर

t_p = 1.814 s

6.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: t_s = 2 s

संवृत-लूप अंतरण फलन

T(s) = 220/(s² + 4s + 220): ωₙ = 14.83 rad/s, ζ = 0.1348

स्थिरीकरण समय

ζωₙ = 4/2 = 2

t_s ≈ 4/(ζωₙ) = 2 s

उत्तर

t_s = 2 s

इस लूप के लिए K जो भी हो, ζωₙ = a/2: K बढ़ाने से अतिलंघन बढ़ता है पर स्थिरीकरण समय छोटा नहीं होता।

7.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: |H| = −12.34 dB

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ω_c = 1/(RC) या R/L पर होती है, और f_c = ω_c/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) और φ = −atan(ω/ω_c) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jω_c)। कला क्रॉसओवर ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

कोना आवृत्ति

ω_c = 1/(RC) = 1/(22000·1 × 10⁻⁸) = 4545 rad/s

f_c = 723.4 Hz → f/f_c = 180/723.4 = 0.2488

लब्धि

|H| = 0.2488/√(1 + 0.2488²) = 0.2415

20·log₁₀(0.2415) = −12.34 dB

उत्तर

|H| = −12.34 dB

8.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: K = 13.28

कला क्रॉसओवर

(ω/1)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·6) = 2.449 rad/s

कला क्रॉसओवर पर परिमाण

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 36)) = K/(1·6·(1 + 6)) = K/42

आवश्यक लब्धि

42/K = 10^10/20 = 3.162

K = 42/3.162 = 13.28

उत्तर

K = 13.28

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