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1सूत्र और विधियाँ
संवलन और LTI तंत्र
असतत संवलन
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
संतत संवलन
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
लंबाई और योग
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
आरंभ, अंत और क्षेत्रफल
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t) में सोपान
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
प्रथम-कोटि तंत्र
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
प्रथम-कोटि पुनरावृत्ति
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t) से गुज़रता ज्यावक्रीय संकेत
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
फूरिए श्रेणी के आयाम
वर्ग ±A: 4A/(kπ), विषम k; त्रिभुज ±A: 8A/(π²k²), विषम k; स्पंद श्रेणी: A·D और (2A/(kπ))|sin kπD|
विधि
दोनों संकेतों का आरेख बनाइए और देखिए कि हर एक कहाँ अशून्य है।
h को उलटिए और खिसकाइए: हर निर्गत समय के लिए वह परास ढूँढिए जहाँ दोनों संकेत अतिव्यापी हों।
केवल उसी अतिव्यापन पर गुणा करके जोड़िए (असतत) या गुणा करके समाकलन कीजिए (संतत)।
परिणाम जाँचिए: निर्गत आरंभ-समयों के योग पर शुरू होता है, अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है, और उसका क्षेत्रफल या योग निवेशों के क्षेत्रफलों या योगों का गुणनफल होता है।
2अभ्यास प्रश्न
1.संवलन और LTI तंत्रमध्यम
निवेश x(t) = 1·e−4tu(t) को h(t) = e−5tu(t) वाले तंत्र पर लगाया जाता है। t = 1.5 s पर निर्गत y(1.5) ज्ञात कीजिए।
x(t) = 1·e−4tu(t)h(t) = e−5tu(t)t = 1.5 s
y(1.5) =
2.संवलन और LTI तंत्रकठिन
एक स्पंद श्रेणी की ऊँचाई 4, स्पंद चौड़ाई 1.5 ms और आवर्तकाल 5 ms है। 200 Hz पर हार्मोनिक संख्या 1 का आयाम c1 ज्ञात कीजिए।
A = 4τ = 1.5 msT = 5 ms
c1 =
3.लाप्लास रूपांतरमध्यम
F(s) = (5s + 2)/(s² + 4s + 4) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए और f(0.4) का मान निकालिए।
F(s) = (5s + 2)/(s² + 4s + 4)t = 0.4 s
f(0.4) =
4.लाप्लास रूपांतरकठिन
एक तंत्र अवकल समीकरण y″ + 6y′ + 5y = 4u′ + 10u से वर्णित है, जिसका इनपुट u(t) और आउटपुट y(t) है। इसका अंतरण फलन G(s) = Y(s)/U(s) (शून्य प्रारंभिक शर्तें) ज्ञात कीजिए और t = 0.8 s पर आवेग अनुक्रिया g(t) का मान निकालिए। g(0.8) ज्ञात कीजिए।
y″ + 6y′ + 5y = 4u′ + 10ut = 0.8 s
g(0.8) =
5.सोपान अनुक्रियामध्यम
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 102/(s² + 4s + 51) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
G(s) = 102/(s² + 4s + 51)
%OS = %
6.सोपान अनुक्रियाकठिन
एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/(s(s + 8)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 2 % अतिलंघन वाली सोपान अनुक्रिया देती है।
G(s) = K/(s(s + 8))%OS = 2 %
K =
7.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम
दर्शाए गए श्रेणी RLC बैंड-पारक फ़िल्टर में निर्गम R = 2 Ω के आर-पार लिया गया है, L = 50 mH और C = 4.7 µF के साथ। −3 dB बैंडविड्थ BW Hz में ज्ञात कीजिए।
R = 2 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
BW = Hz
8.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन
एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = K/(s(s + 2)(s + 9)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 20 dB की लब्धि सीमा देती है।
L(s) = K/(s(s + 2)(s + 9))GM = 20 dB
K =
3विलयन
1.संवलन और LTI तंत्र
उत्तर: y(1.5) = 0.001926
संतत संवलन: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ। h को उलटिए, उसे स्थिति t तक खिसकाइए और अतिव्यापी भागों के गुणनफल का समाकलन कीजिए। कार्य-कारण संकेतों के लिए समाकल 0 से t तक चलता है। उपयोगी परिणाम: y का क्षेत्रफल x के क्षेत्रफल गुणा h के क्षेत्रफल के बराबर होता है; यदि x, t₁ से t₂ तक रहता है और h, t₃ से t₄ तक, तो y, t₁ + t₃ से t₂ + t₄ तक रहता है। h(t) = e−atu(t) और ऊँचाई A के सोपान के लिए y(t) = (A/a)(1 − e−at)।
आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी: आवेग अनुक्रिया h(t) किसी LTI तंत्र का पूरा वर्णन करती है: y′ + a·y = b·x के लिए यह h(t) = b·e−atu(t) है, और y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] के लिए h[n] = b·aⁿu[n]। ज्यावक्रीय cos ωt लब्धि |H(jω)| और कला ∠H(jω) के साथ गुज़रता है, जहाँ H, h का फूरिए रूपांतर है। आवर्ती संकेत k/T पर हार्मोनिकों का योग है: ±A का वर्ग तरंग केवल विषम हार्मोनिक रखता है जिनके आयाम 4A/(kπ) हैं, शिखर A की त्रिभुज तरंग में 8A/(π²k²) होता है, और ऊँचाई A तथा कर्तव्य चक्र D की स्पंद श्रेणी का माध्य A·D और हार्मोनिक (2A/(kπ))·|sin(kπD)| होते हैं।
कर्तव्य चक्र
D = 1.5/5 = 0.3
हार्मोनिक आयाम
c1 = (2·4/(1π))·|sin(1π·0.3)| = 2.06
उत्तर
c1 = 2.06
3.लाप्लास रूपांतर
उत्तर: f(0.4) = 0.8088
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
हर का गुणनखंड करें
s² + 4s + 4 = (s + 2)²
आंशिक भिन्न
5s + 2 = 5(s + 2) + −8
F(s) = 5/(s + 2) − 8/(s + 2)²
प्रतिलोम रूपांतर
f(t) = 5·e−2t − 8·t·e−2t
f(0.4) = (5 − 8·0.4)·e−2·0.4 = 0.8088
उत्तर
f(0.4) = 0.8088
4.लाप्लास रूपांतर
उत्तर: g(0.8) = 0.7198
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
अंतरण फलन
G(s) = Y(s)/U(s) = (4s + 10)/(s² + 6s + 5)
आंशिक भिन्न
s² + 6s + 5 = (s + 1)(s + 5)
A = 1.5, B = 2.5
आवेग अनुक्रिया
g(t) = 1.5·e−t + 2.5·e−5t
g(0.8) = 0.7198
उत्तर
g(0.8) = 0.7198
5.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: %OS = 39.99 %
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 51 → ωₙ = 7.141 rad/s
2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·7.141) = 0.2801
परिणाम
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−0.9165 = 39.99 %
उत्तर
%OS = 39.99 %
6.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: K = 26.32
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
संवृत-लूप अंतरण फलन
T(s) = K/(s² + 8s + K)
अतिलंघन से अवमंदन अनुपात
ζ = −ln(0.02)/√(π² + ln²(0.02)) = 0.7797
लब्धि
ωₙ = 8/(2ζ) = 5.13 rad/s
K = ωₙ² = 26.32
उत्तर
K = 26.32
7.बोडे आरेख और सीमाएँ
उत्तर: BW = 6.366 Hz
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
अनुनादी आवृत्ति
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·4.7 × 10⁻⁶) = 2063 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 328.3 Hz
बैंडविड्थ
BW = R/L = 2/0.05 = 40 rad/s = 6.366 Hz
उत्तर
BW = 6.366 Hz
8.बोडे आरेख और सीमाएँ
उत्तर: K = 19.8
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।