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1सूत्र और विधियाँ
संवलन और LTI तंत्र
असतत संवलन
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
संतत संवलन
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
लंबाई और योग
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
आरंभ, अंत और क्षेत्रफल
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t) में सोपान
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
प्रथम-कोटि तंत्र
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
प्रथम-कोटि पुनरावृत्ति
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t) से गुज़रता ज्यावक्रीय संकेत
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
फूरिए श्रेणी के आयाम
वर्ग ±A: 4A/(kπ), विषम k; त्रिभुज ±A: 8A/(π²k²), विषम k; स्पंद श्रेणी: A·D और (2A/(kπ))|sin kπD|
विधि
दोनों संकेतों का आरेख बनाइए और देखिए कि हर एक कहाँ अशून्य है।
h को उलटिए और खिसकाइए: हर निर्गत समय के लिए वह परास ढूँढिए जहाँ दोनों संकेत अतिव्यापी हों।
केवल उसी अतिव्यापन पर गुणा करके जोड़िए (असतत) या गुणा करके समाकलन कीजिए (संतत)।
परिणाम जाँचिए: निर्गत आरंभ-समयों के योग पर शुरू होता है, अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है, और उसका क्षेत्रफल या योग निवेशों के क्षेत्रफलों या योगों का गुणनफल होता है।
2अभ्यास प्रश्न
1.संवलन और LTI तंत्रमध्यम
स्पंद x(t) = 3, 0 ≤ t < 3 s के लिए (अन्यत्र शून्य), आवेग अनुक्रिया h(t) = 1, 0 ≤ t < 4 s के लिए (अन्यत्र शून्य) वाले तंत्र पर लगाया जाता है। t = 3 s पर निर्गत y(3) ज्ञात कीजिए।
x(t) = 3, 0 ≤ t < 3 sh(t) = 1, 0 ≤ t < 4 st = 3 s
y(3) =
2.संवलन और LTI तंत्रकठिन
एक त्रिभुज तरंग −10 और +10 के बीच रैखिक रूप से चढ़ती और उतरती है, आवर्तकाल T = 1 ms। 1000 Hz पर इसके फूरिए घटक का आयाम c1 ज्ञात कीजिए।
±10T = 1 msf = 1000 Hz
c1 =
3.लाप्लास रूपांतरमध्यम
F(s) = (2s + 34)/(s² + 8s + 7)। इसका प्रतिलोम रूपांतर f(t) = A·e−t + B·e−7t के रूप का है। आंशिक भिन्नों से गुणांक A ज्ञात कीजिए।
F(s) = (2s + 34)/(s² + 8s + 7)
A =
4.लाप्लास रूपांतरकठिन
एक तंत्र y″ + 5y′ + 6y = 6·u(t) का पालन करता है, जहाँ y(0) = 1 और y′(0) = 0। t = 0 पर एक सोपान इनपुट u(t) = 10 लगाया जाता है। लाप्लास रूपांतर से y(0.2) ज्ञात कीजिए।
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 35.5/(s² + 13s + 71) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
G(s) = 35.5/(s² + 13s + 71)
%OS = %
6.सोपान अनुक्रियाकठिन
शून्यों के बिना एक द्वितीय-कोटि तंत्र की सोपान अनुक्रिया में 2 % अतिलंघन होना चाहिए। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
%OS = 2 %
ζ =
7.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम
दर्शाए गए श्रेणी RLC बैंड-पारक फ़िल्टर में निर्गम R = 20 Ω के आर-पार लिया गया है, L = 100 mH और C = 0.22 µF के साथ। गुणवत्ता कारक Q ज्ञात कीजिए।
R = 20 ΩL = 100 mHC = 0.22 µF
Q =
8.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन
एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = K/(s(s + 5)(s + 7)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 6 dB की लब्धि सीमा देती है।
L(s) = K/(s(s + 5)(s + 7))GM = 6 dB
K =
3विलयन
1.संवलन और LTI तंत्र
उत्तर: y(3) = 9
संतत संवलन: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ। h को उलटिए, उसे स्थिति t तक खिसकाइए और अतिव्यापी भागों के गुणनफल का समाकलन कीजिए। कार्य-कारण संकेतों के लिए समाकल 0 से t तक चलता है। उपयोगी परिणाम: y का क्षेत्रफल x के क्षेत्रफल गुणा h के क्षेत्रफल के बराबर होता है; यदि x, t₁ से t₂ तक रहता है और h, t₃ से t₄ तक, तो y, t₁ + t₃ से t₂ + t₄ तक रहता है। h(t) = e−atu(t) और ऊँचाई A के सोपान के लिए y(t) = (A/a)(1 − e−at)।
उलटे स्पंद का अतिव्यापन
h(t − τ) h का वह स्पंद है जिसे उलटकर इस तरह खिसकाया गया है कि वह τ = t पर समाप्त हो।
τ ∈ [0, 3] → लंबाई 3 s
समाकल
y(3) = 3·1·3 = 9
उत्तर
y(3) = 9
y(t) एक समलंब है: यह 0 से बढ़ता है, 9 पर टिकता है और t = 7 s पर वापस 0 पर आ जाता है।
2.संवलन और LTI तंत्र
उत्तर: c1 = 8.106
आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी: आवेग अनुक्रिया h(t) किसी LTI तंत्र का पूरा वर्णन करती है: y′ + a·y = b·x के लिए यह h(t) = b·e−atu(t) है, और y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] के लिए h[n] = b·aⁿu[n]। ज्यावक्रीय cos ωt लब्धि |H(jω)| और कला ∠H(jω) के साथ गुज़रता है, जहाँ H, h का फूरिए रूपांतर है। आवर्ती संकेत k/T पर हार्मोनिकों का योग है: ±A का वर्ग तरंग केवल विषम हार्मोनिक रखता है जिनके आयाम 4A/(kπ) हैं, शिखर A की त्रिभुज तरंग में 8A/(π²k²) होता है, और ऊँचाई A तथा कर्तव्य चक्र D की स्पंद श्रेणी का माध्य A·D और हार्मोनिक (2A/(kπ))·|sin(kπD)| होते हैं।
हार्मोनिक संख्या
f₀ = 1/T = 1000 Hz → k = 1
आयाम
c1 = 8·10/(π²·1²) = 8.106
उत्तर
c1 = 8.106
3.लाप्लास रूपांतर
उत्तर: A = 5.333
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
हर का गुणनखंड करें
s² + 8s + 7 = (s + 1)(s + 7)
F(s) = A/(s + 1) + B/(s + 7)
कवर-अप नियम
(s + 1) से गुणा करें और s = −1 रखें: B-पद लुप्त हो जाता है।
A = (2s + 34)/(s + 7) |s = −1 = 32/6 = 5.333
उत्तर
A = 5.333
(B = −3.333, इसलिए f(t) = 5.333·e−t − 3.333·e−7t)
4.लाप्लास रूपांतर
उत्तर: y(0.2) = 1.78
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
समीकरण का रूपांतर करें
(s² + 5s + 6)·Y(s) = 1s + 5 + 60/s
Y(s) = (s² + 5s + 60)/(s(s + 2)(s + 3))
आंशिक भिन्न
A = 60/(2·3) = 10
B = 54/((−2)·1) = −27
C = 54/((−3)·(−1)) = 18
परिणाम
y(t) = 10 − 27·e−2t + 18·e−3t
y(0.2) = 1.78
उत्तर
y(0.2) = 1.78
जाँच: y(0) = A + B + C = 1।
5.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: %OS = 2.218 %
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8.426 rad/s
2ζωₙ = 13 → ζ = 13/(2·8.426) = 0.7714
परिणाम
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−3.808 = 2.218 %
उत्तर
%OS = 2.218 %
6.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: ζ = 0.7797
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
अनुनादी आवृत्ति
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·2.2 × 10⁻⁷) = 6742 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 1073 Hz
गुणता गुणक
BW = R/L = 20/0.1 = 200 rad/s = 31.83 Hz
Q = ω₀/BW = 6742/200 = 33.71
उत्तर
Q = 33.71
8.बोडे आरेख और सीमाएँ
उत्तर: K = 210.5
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।