सिग्नल और तंत्र: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संवलन और LTI तंत्र

असतत संवलन
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
संतत संवलन
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
लंबाई और योग
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
आरंभ, अंत और क्षेत्रफल
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t) में सोपान
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
प्रथम-कोटि तंत्र
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
प्रथम-कोटि पुनरावृत्ति
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t) से गुज़रता ज्यावक्रीय संकेत
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
फूरिए श्रेणी के आयाम
वर्ग ±A: 4A/(kπ), विषम k; त्रिभुज ±A: 8A/(π²k²), विषम k; स्पंद श्रेणी: A·D और (2A/(kπ))|sin kπD|

विधि

  1. दोनों संकेतों का आरेख बनाइए और देखिए कि हर एक कहाँ अशून्य है।
  2. h को उलटिए और खिसकाइए: हर निर्गत समय के लिए वह परास ढूँढिए जहाँ दोनों संकेत अतिव्यापी हों।
  3. केवल उसी अतिव्यापन पर गुणा करके जोड़िए (असतत) या गुणा करके समाकलन कीजिए (संतत)।
  4. परिणाम जाँचिए: निर्गत आरंभ-समयों के योग पर शुरू होता है, अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है, और उसका क्षेत्रफल या योग निवेशों के क्षेत्रफलों या योगों का गुणनफल होता है।

2अभ्यास प्रश्न

1.संवलन और LTI तंत्रमध्यम
x(t)t24h(t)t1

स्पंद x(t) = 4, 0 ≤ t < 2 s के लिए (अन्यत्र शून्य), h(t) = e−2tu(t) वाले तंत्र पर लगाया जाता है। स्पंद समाप्त होने के बाद t = 4 s पर निर्गत y(4) ज्ञात कीजिए।

x(t) = 4, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−2tu(t)t = 4 s
y(4) =
2.संवलन और LTI तंत्रकठिन
2cos(6t)h(t) = 2e−2t​u(t)y(t)

निवेश x(t) = 2·cos(6t) को h(t) = 2·e−2tu(t) वाले तंत्र पर लगाया जाता है। निवेश के सापेक्ष स्थायी-अवस्था निर्गत की कला φ ज्ञात कीजिए, डिग्री में।

h(t) = 2e−2tu(t)x(t) = 2cos(6t)
φ = °
3.लाप्लास रूपांतरमध्यम
ReIm−2−4−6−8−10−12

वर्ग पूरा करके F(s) = (s + 11)/(s² + 2s + 2) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.5) का मान निकालिए।

F(s) = (s + 11)/(s² + 2s + 2)t = 0.5 s
f(0.5) =
4.लाप्लास रूपांतरकठिन
t (s)y(t)t = 0.3y(0.3) = ?

लाप्लास रूपांतर से y(0) = 9 और y′(0) = 1 के साथ y″ + 8y′ + 15y = 0 हल कीजिए, और y(0.3) ज्ञात कीजिए।

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 9y′(0) = 1t = 0.3 s
y(0.3) =
5.सोपान अनुक्रियामध्यम
t (s)y(t)3tp​ = ?

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 111/(s² + 2s + 37) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का शिखर समय tp ज्ञात कीजिए।

G(s) = 111/(s² + 2s + 37)
tp = s
6.सोपान अनुक्रियाकठिन
k = 800 N/mc = 51 N·s/mm = 20 kgF = 20 Nx(t)

एक द्रव्यमान m = 20 kg एक स्प्रिंग k = 800 N/m पर एक श्यान अवमंदक c = 51 N·s/m के साथ लटका है (m·x″ + c·x′ + k·x = F)। संतुलन में विराम की अवस्था में अचानक एक स्थिर बल F = 20 N लगाया जाता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgk = 800 N/mc = 51 N·s/mF = 20 N
ζ =
7.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम
vin​L = 10 mHC = 10 µFR = 20 Ωvout​

दर्शाए गए श्रेणी RLC बैंड-पारक फ़िल्टर में निर्गम R = 20 Ω के आर-पार लिया गया है, L = 10 mH और C = 10 µF के साथ। गुणवत्ता कारक Q ज्ञात कीजिए।

R = 20 ΩL = 10 mHC = 10 µF
Q =
8.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 52/(s(s + 5)(s + 8)) है। लब्धि सीमा GM dB में ज्ञात कीजिए।

L(s) = 52/(s(s + 5)(s + 8))
GM = dB

3विलयन

1.संवलन और LTI तंत्र

उत्तर: y(4) = 0.03596

संतत संवलन: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ। h को उलटिए, उसे स्थिति t तक खिसकाइए और अतिव्यापी भागों के गुणनफल का समाकलन कीजिए। कार्य-कारण संकेतों के लिए समाकल 0 से t तक चलता है। उपयोगी परिणाम: y का क्षेत्रफल x के क्षेत्रफल गुणा h के क्षेत्रफल के बराबर होता है; यदि x, t₁ से t₂ तक रहता है और h, t₃ से t₄ तक, तो y, t₁ + t₃ से t₂ + t₄ तक रहता है। h(t) = e−atu(t) और ऊँचाई A के सोपान के लिए y(t) = (A/a)(1 − e−at)।

स्पंद के अंत पर निर्गत

y(2) = (4/2)(1 − e−4) = 1.963

स्पंद के बाद क्षय

y(4) = 1.963·e−2·2 = 0.03596

उत्तर

y(4) = 0.03596
2.संवलन और LTI तंत्र

उत्तर: φ = −71.57 °

आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी: आवेग अनुक्रिया h(t) किसी LTI तंत्र का पूरा वर्णन करती है: y′ + a·y = b·x के लिए यह h(t) = b·e−atu(t) है, और y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] के लिए h[n] = b·aⁿu[n]। ज्यावक्रीय cos ωt लब्धि |H(jω)| और कला ∠H(jω) के साथ गुज़रता है, जहाँ H, h का फूरिए रूपांतर है। आवर्ती संकेत k/T पर हार्मोनिकों का योग है: ±A का वर्ग तरंग केवल विषम हार्मोनिक रखता है जिनके आयाम 4A/(kπ) हैं, शिखर A की त्रिभुज तरंग में 8A/(π²k²) होता है, और ऊँचाई A तथा कर्तव्य चक्र D की स्पंद श्रेणी का माध्य A·D और हार्मोनिक (2A/(kπ))·|sin(kπD)| होते हैं।

आवृत्ति अनुक्रिया

H(jω) = 2/(2 + jω)

निवेश आवृत्ति पर कला

φ = −atan(6/2) = −71.57°

उत्तर

φ = −71.57°
3.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(0.5) = 3.44

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।

वर्ग पूरा करें

s² + 2s + 2 = (s + 1)² + 1 = (s + 1)² + 1²

अंश का मिलान करें

F(s) = 1·(s + 1)/((s + 1)² + 1²) + (10/1)·1/((s + 1)² + 1²)

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = e−t·(cos 1t + 10·sin 1t)
f(0.5) = e−0.5·(cos(1·0.5) + 10·sin(1·0.5)) = 3.44

उत्तर

f(0.5) = 3.44
4.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.3) = 6.227

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।

समीकरण का रूपांतर करें

s²Y − 9s − 1 + 8(sY − 9) + 15Y = 0
Y(s) = (9s + 73)/((s + 3)(s + 5))

आंशिक भिन्न

A = 46/2 = 23
B = 28/(−2) = −14

परिणाम

y(t) = 23·e−3t − 14·e−5t
y(0.3) = 6.227

उत्तर

y(0.3) = 6.227

जाँच: y(0) = A + B = 9।

5.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: tp = 0.5236 s

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 37 → ωₙ = 6.083 rad/s
2ζωₙ = 2 → ζ = 2/(2·6.083) = 0.1644

परिणाम

ωd = 6.083·√(1 − 0.1644²) = 6 rad/s → tp = π/ωd = 0.5236 s

उत्तर

tp = 0.5236 s
6.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: ζ = 0.2016

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

प्राकृतिक आवृत्ति और अवमंदन अनुपात

ωₙ = √(k/m) = √(800/20) = 6.325 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 51/(2·√(800·20)) = 0.2016

परिणाम

ζ = 0.2016

उत्तर

ζ = 0.2016
7.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: Q = 1.581

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

अनुनादी आवृत्ति

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·1 × 10⁻⁵) = 3162 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 503.3 Hz

गुणता गुणक

BW = R/L = 20/0.01 = 2000 rad/s = 318.3 Hz
Q = ω₀/BW = 3162/2000 = 1.581

उत्तर

Q = 1.581
8.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: GM = 20 dB

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

कला क्रॉसओवर

(ω/5)·(ω/8) = 1 → ω180 = √(5·8) = 6.325 rad/s

कला क्रॉसओवर पर परिमाण

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 25)·√(ω² + 64)) = K/(5·8·(5 + 8)) = K/520

लब्धि सीमा

GM = 20·log₁₀(520/52) = 20 dB

उत्तर

GM = 20 dB

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