सिग्नल और तंत्र: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संवलन और LTI तंत्र

असतत संवलन
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
संतत संवलन
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
लंबाई और योग
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
आरंभ, अंत और क्षेत्रफल
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t) में सोपान
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
प्रथम-कोटि तंत्र
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
प्रथम-कोटि पुनरावृत्ति
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t) से गुज़रता ज्यावक्रीय संकेत
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
फूरिए श्रेणी के आयाम
वर्ग ±A: 4A/(kπ), विषम k; त्रिभुज ±A: 8A/(π²k²), विषम k; स्पंद श्रेणी: A·D और (2A/(kπ))|sin kπD|

विधि

  1. दोनों संकेतों का आरेख बनाइए और देखिए कि हर एक कहाँ अशून्य है।
  2. h को उलटिए और खिसकाइए: हर निर्गत समय के लिए वह परास ढूँढिए जहाँ दोनों संकेत अतिव्यापी हों।
  3. केवल उसी अतिव्यापन पर गुणा करके जोड़िए (असतत) या गुणा करके समाकलन कीजिए (संतत)।
  4. परिणाम जाँचिए: निर्गत आरंभ-समयों के योग पर शुरू होता है, अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है, और उसका क्षेत्रफल या योग निवेशों के क्षेत्रफलों या योगों का गुणनफल होता है।

2अभ्यास प्रश्न

1.संवलन और LTI तंत्रमध्यम
x(t)t5h(t)t11

एक तंत्र की आवेग अनुक्रिया h(t) = e−1tu(t) है। निवेश सोपान x(t) = 5·u(t) है। t = 0.2 s पर निर्गत y(0.2) ज्ञात कीजिए।

h(t) = e−1tu(t)x(t) = 5·u(t)t = 0.2 s
y(0.2) =
2.संवलन और LTI तंत्रकठिन
2cos(60t)h(t) = 2e−20t​u(t)y(t)

निवेश x(t) = 2·cos(60t) को h(t) = 2·e−20tu(t) वाले तंत्र पर लगाया जाता है। निवेश के सापेक्ष स्थायी-अवस्था निर्गत की कला φ ज्ञात कीजिए, डिग्री में।

h(t) = 2e−20tu(t)x(t) = 2cos(60t)
φ = °
3.लाप्लास रूपांतरमध्यम
ReIm−0.5−1−1.5−20.51

वर्ग पूरा करके F(s) = (4s + 6)/(s² + 4s + 5) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.8) का मान निकालिए।

F(s) = (4s + 6)/(s² + 4s + 5)t = 0.8 s
f(0.8) =
4.लाप्लास रूपांतरकठिन
t (s)y(t)t = 1y(1) = ?

एक तंत्र y″ + 5y′ + 4y = 8·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 1 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(1) ज्ञात कीजिए।

y″ + 5y′ + 4y = 8·u(t)u(t) = 1y(0) = 0, y′(0) = 0t = 1 s
y(1) =
5.सोपान अनुक्रियामध्यम
t (s)y(t)2tp​ = ?

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 86/(s² + 10s + 43) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का शिखर समय tp ज्ञात कीजिए।

G(s) = 86/(s² + 10s + 43)
tp = s
6.सोपान अनुक्रियाकठिन
+−24 VR = 57 ΩL = 200 mHC = 22 µFvC​

R = 57 Ω, L = 200 mH और C = 22 µF वाला एक श्रेणी RLC परिपथ t = 0 पर 24 V सोपान से जोड़ा जाता है। सोपान से पहले संधारित्र अनावेशित है और कोई धारा नहीं बहती। अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति ωn rad/s में ज्ञात कीजिए।

R = 57 ΩL = 200 mHC = 22 µFV = 24 V
ωn = rad/s
7.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम
vin​C = 10 nFR = 1 kΩvout​

दर्शाए गए RC उच्च-पारक फ़िल्टर में R = 1 kΩ, C = 10 nF है। 4 kHz का एक ज्यावक्रीय निवेश लगाया जाता है। dB में लब्धि |H| = |vout/vin| ज्ञात कीजिए।

R = 1 kΩC = 10 nFf = 4 kHz
|H| = dB
8.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 6.6/(s(s + 2)) है। लब्धि क्रॉसओवर आवृत्ति ωc ज्ञात कीजिए, जहाँ |L(jω)| = 1।

L(s) = 6.6/(s(s + 2))
ωc = rad/s

3विलयन

1.संवलन और LTI तंत्र

उत्तर: y(0.2) = 0.9063

संतत संवलन: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ। h को उलटिए, उसे स्थिति t तक खिसकाइए और अतिव्यापी भागों के गुणनफल का समाकलन कीजिए। कार्य-कारण संकेतों के लिए समाकल 0 से t तक चलता है। उपयोगी परिणाम: y का क्षेत्रफल x के क्षेत्रफल गुणा h के क्षेत्रफल के बराबर होता है; यदि x, t₁ से t₂ तक रहता है और h, t₃ से t₄ तक, तो y, t₁ + t₃ से t₂ + t₄ तक रहता है। h(t) = e−atu(t) और ऊँचाई A के सोपान के लिए y(t) = (A/a)(1 − e−at)।

सोपान के साथ संवलन

y(t) = 5·∫₀ᵗ e−1τ dτ = (5/1)·(1 − e−1t)

मान निकालें

y(0.2) = 5·(1 − e−0.2) = 0.9063

उत्तर

y(0.2) = 0.9063
2.संवलन और LTI तंत्र

उत्तर: φ = −71.57 °

आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी: आवेग अनुक्रिया h(t) किसी LTI तंत्र का पूरा वर्णन करती है: y′ + a·y = b·x के लिए यह h(t) = b·e−atu(t) है, और y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] के लिए h[n] = b·aⁿu[n]। ज्यावक्रीय cos ωt लब्धि |H(jω)| और कला ∠H(jω) के साथ गुज़रता है, जहाँ H, h का फूरिए रूपांतर है। आवर्ती संकेत k/T पर हार्मोनिकों का योग है: ±A का वर्ग तरंग केवल विषम हार्मोनिक रखता है जिनके आयाम 4A/(kπ) हैं, शिखर A की त्रिभुज तरंग में 8A/(π²k²) होता है, और ऊँचाई A तथा कर्तव्य चक्र D की स्पंद श्रेणी का माध्य A·D और हार्मोनिक (2A/(kπ))·|sin(kπD)| होते हैं।

आवृत्ति अनुक्रिया

H(jω) = 2/(20 + jω)

निवेश आवृत्ति पर कला

φ = −atan(60/20) = −71.57°

उत्तर

φ = −71.57°
3.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(0.8) = 0.273

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।

वर्ग पूरा करें

s² + 4s + 5 = (s + 2)² + 1 = (s + 2)² + 1²

अंश का मिलान करें

F(s) = 4·(s + 2)/((s + 2)² + 1²) + (−2/1)·1/((s + 2)² + 1²)

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = e−2t·(4·cos 1t − 2·sin 1t)
f(0.8) = e−2·0.8·(4·cos(1·0.8) − 2·sin(1·0.8)) = 0.273

उत्तर

f(0.8) = 0.273
4.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(1) = 1.031

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।

समीकरण का रूपांतर करें

Y(s) = 8/(s(s + 1)(s + 4))

आंशिक भिन्न

A = 8/(1·4) = 2
B = 8/((−1)·3) = −2.667
C = 8/((−4)·(−3)) = 0.6667

निर्गम

y(t) = 2 − 2.667·e−t + 0.6667·e−4t
y(1) = 1.031

उत्तर

y(1) = 1.031
5.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: tp = 0.7405 s

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 43 → ωₙ = 6.557 rad/s
2ζωₙ = 10 → ζ = 10/(2·6.557) = 0.7625

परिणाम

ωd = 6.557·√(1 − 0.7625²) = 4.243 rad/s → tp = π/ωd = 0.7405 s

उत्तर

tp = 0.7405 s
6.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: ωn = 476.7 rad/s

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

प्राकृतिक आवृत्ति और अवमंदन अनुपात

ωₙ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·2.2 × 10⁻⁵) = 476.7 rad/s
ζ = (R/2)·√(C/L) = (57/2)·√(2.2 × 10⁻⁵/0.2) = 0.2989

परिणाम

ωₙ = 476.7 rad/s

उत्तर

ωn = 476.7 rad/s
7.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: |H| = −12.26 dB

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

कोना आवृत्ति

ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁸) = 100000 rad/s
fc = 15915 Hz → f/fc = 4000/15915 = 0.2513

लब्धि

|H| = 0.2513/√(1 + 0.2513²) = 0.2437
20·log₁₀(0.2437) = −12.26 dB

उत्तर

|H| = −12.26 dB
8.बोडे आरेख और सीमाएँ

उत्तर: ωc = 2.213 rad/s

आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।

लब्धि क्रॉसओवर

ω⁴ + 4ω² − 43.56 = 0
ω² = (−4 + √(16 + 4·43.56))/2 = 4.896
ωc = 2.213 rad/s

उत्तर

ωc = 2.213 rad/s

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