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1सूत्र और विधियाँ
संवलन और LTI तंत्र
असतत संवलन
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
संतत संवलन
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
लंबाई और योग
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
आरंभ, अंत और क्षेत्रफल
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t) में सोपान
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
प्रथम-कोटि तंत्र
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
प्रथम-कोटि पुनरावृत्ति
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t) से गुज़रता ज्यावक्रीय संकेत
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
फूरिए श्रेणी के आयाम
वर्ग ±A: 4A/(kπ), विषम k; त्रिभुज ±A: 8A/(π²k²), विषम k; स्पंद श्रेणी: A·D और (2A/(kπ))|sin kπD|
विधि
दोनों संकेतों का आरेख बनाइए और देखिए कि हर एक कहाँ अशून्य है।
h को उलटिए और खिसकाइए: हर निर्गत समय के लिए वह परास ढूँढिए जहाँ दोनों संकेत अतिव्यापी हों।
केवल उसी अतिव्यापन पर गुणा करके जोड़िए (असतत) या गुणा करके समाकलन कीजिए (संतत)।
परिणाम जाँचिए: निर्गत आरंभ-समयों के योग पर शुरू होता है, अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है, और उसका क्षेत्रफल या योग निवेशों के क्षेत्रफलों या योगों का गुणनफल होता है।
2अभ्यास प्रश्न
1.संवलन और LTI तंत्रमध्यम
स्पंद x(t) = 2, 0 ≤ t < 1 s के लिए (अन्यत्र शून्य), h(t) = e−1tu(t) वाले तंत्र पर लगाया जाता है। स्पंद समाप्त होने के बाद t = 3 s पर निर्गत y(3) ज्ञात कीजिए।
x(t) = 2, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−1tu(t)t = 3 s
y(3) =
2.संवलन और LTI तंत्रकठिन
एक तंत्र y[n] = −0.8·y[n − 1] + 4·x[n] का पालन करता है और विरामावस्था से शुरू होता है। निवेश एकांक सोपान x[n] = u[n] है। y[3] ज्ञात कीजिए।
y[n] = −0.8y[n − 1] + 4x[n]x[n] = u[n]
y[3] =
3.लाप्लास रूपांतरमध्यम
आंशिक भिन्नों से F(s) = 30/(s(s + 1)(s + 5)) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(1) का मान निकालिए।
F(s) = 30/(s(s + 1)(s + 5))t = 1 s
f(1) =
4.लाप्लास रूपांतरकठिन
एक तंत्र अवकल समीकरण y″ + 6y′ + 5y = 4u′ + 20u से वर्णित है, जिसका इनपुट u(t) और आउटपुट y(t) है। इसका अंतरण फलन G(s) = Y(s)/U(s) (शून्य प्रारंभिक शर्तें) ज्ञात कीजिए और t = 0.6 s पर आवेग अनुक्रिया g(t) का मान निकालिए। g(0.6) ज्ञात कीजिए।
y″ + 6y′ + 5y = 4u′ + 20ut = 0.6 s
g(0.6) =
5.सोपान अनुक्रियामध्यम
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 87/(s² + 15s + 87) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
G(s) = 87/(s² + 15s + 87)
%OS = %
6.सोपान अनुक्रियाकठिन
एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/(s(s + 5)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 30 % अतिलंघन वाली सोपान अनुक्रिया देती है।
G(s) = K/(s(s + 5))%OS = 30 %
K =
7.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम
दर्शाए गए RC उच्च-पारक फ़िल्टर में R = 22 kΩ, C = 47 nF है। 77 Hz का एक ज्यावक्रीय निवेश लगाया जाता है। vin के सापेक्ष vout का कला अंतर φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
R = 22 kΩC = 47 nFf = 77 Hz
φ = °
8.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन
एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 400/(s(s + 8)) है। लब्धि क्रॉसओवर आवृत्ति ωc ज्ञात कीजिए, जहाँ |L(jω)| = 1।
L(s) = 400/(s(s + 8))
ωc = rad/s
3विलयन
1.संवलन और LTI तंत्र
उत्तर: y(3) = 0.1711
संतत संवलन: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ। h को उलटिए, उसे स्थिति t तक खिसकाइए और अतिव्यापी भागों के गुणनफल का समाकलन कीजिए। कार्य-कारण संकेतों के लिए समाकल 0 से t तक चलता है। उपयोगी परिणाम: y का क्षेत्रफल x के क्षेत्रफल गुणा h के क्षेत्रफल के बराबर होता है; यदि x, t₁ से t₂ तक रहता है और h, t₃ से t₄ तक, तो y, t₁ + t₃ से t₂ + t₄ तक रहता है। h(t) = e−atu(t) और ऊँचाई A के सोपान के लिए y(t) = (A/a)(1 − e−at)।
स्पंद के अंत पर निर्गत
y(1) = (2/1)(1 − e−1) = 1.264
स्पंद के बाद क्षय
y(3) = 1.264·e−1·2 = 0.1711
उत्तर
y(3) = 0.1711
2.संवलन और LTI तंत्र
उत्तर: y[3] = 1.312
आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी: आवेग अनुक्रिया h(t) किसी LTI तंत्र का पूरा वर्णन करती है: y′ + a·y = b·x के लिए यह h(t) = b·e−atu(t) है, और y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] के लिए h[n] = b·aⁿu[n]। ज्यावक्रीय cos ωt लब्धि |H(jω)| और कला ∠H(jω) के साथ गुज़रता है, जहाँ H, h का फूरिए रूपांतर है। आवर्ती संकेत k/T पर हार्मोनिकों का योग है: ±A का वर्ग तरंग केवल विषम हार्मोनिक रखता है जिनके आयाम 4A/(kπ) हैं, शिखर A की त्रिभुज तरंग में 8A/(π²k²) होता है, और ऊँचाई A तथा कर्तव्य चक्र D की स्पंद श्रेणी का माध्य A·D और हार्मोनिक (2A/(kπ))·|sin(kπD)| होते हैं।
पुनरावृत्ति
y[0] = 4
y[1] = 0.8
y[2] = 3.36
y[3] = 1.312
परिणाम
y[3] = 4·(1 − (−0.8)4)/(1 − (−0.8)) = 1.312
उत्तर
y[3] = 1.312
3.लाप्लास रूपांतर
उत्तर: f(1) = 3.251
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
आंशिक भिन्न
F(s) = A/s + B/(s + 1) + C/(s + 5)
A = 30/(1·5) = 6
B = 30/((−1)·4) = −7.5
C = 30/((−5)·(−4)) = 1.5
प्रतिलोम रूपांतर
f(t) = 6 − 7.5·e−t + 1.5·e−5t
मान निकालें
f(1) = 6 − 7.5·e−1 + 1.5·e−5·1 = 3.251
उत्तर
f(1) = 3.251
4.लाप्लास रूपांतर
उत्तर: g(0.6) = 2.195
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
अंतरण फलन
G(s) = Y(s)/U(s) = (4s + 20)/(s² + 6s + 5)
आंशिक भिन्न
s² + 6s + 5 = (s + 1)(s + 5)
A = 4, B = 0
आवेग अनुक्रिया
g(t) = 4·e−t
g(0.6) = 2.195
उत्तर
g(0.6) = 2.195
5.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: %OS = 1.428 %
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 87 → ωₙ = 9.327 rad/s
2ζωₙ = 15 → ζ = 15/(2·9.327) = 0.8041
परिणाम
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−4.249 = 1.428 %
उत्तर
%OS = 1.428 %
6.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: K = 48.8
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
संवृत-लूप अंतरण फलन
T(s) = K/(s² + 5s + K)
अतिलंघन से अवमंदन अनुपात
ζ = −ln(0.3)/√(π² + ln²(0.3)) = 0.3579
लब्धि
ωₙ = 5/(2ζ) = 6.986 rad/s
K = ωₙ² = 48.8
उत्तर
K = 48.8
7.बोडे आरेख और सीमाएँ
उत्तर: φ = 63.42 °
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
कोना आवृत्ति
ωc = 1/(RC) = 1/(22000·4.7 × 10⁻⁸) = 967.1 rad/s
fc = 153.9 Hz → f/fc = 77/153.9 = 0.5003
कला
φ = 90° − atan(0.5003) = 63.42°
उत्तर
φ = 63.42°
8.बोडे आरेख और सीमाएँ
उत्तर: ωc = 19.22 rad/s
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।