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1सूत्र और विधियाँ
संवलन और LTI तंत्र
असतत संवलन
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
संतत संवलन
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
लंबाई और योग
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
आरंभ, अंत और क्षेत्रफल
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t) में सोपान
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
प्रथम-कोटि तंत्र
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
प्रथम-कोटि पुनरावृत्ति
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t) से गुज़रता ज्यावक्रीय संकेत
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
फूरिए श्रेणी के आयाम
वर्ग ±A: 4A/(kπ), विषम k; त्रिभुज ±A: 8A/(π²k²), विषम k; स्पंद श्रेणी: A·D और (2A/(kπ))|sin kπD|
विधि
दोनों संकेतों का आरेख बनाइए और देखिए कि हर एक कहाँ अशून्य है।
h को उलटिए और खिसकाइए: हर निर्गत समय के लिए वह परास ढूँढिए जहाँ दोनों संकेत अतिव्यापी हों।
केवल उसी अतिव्यापन पर गुणा करके जोड़िए (असतत) या गुणा करके समाकलन कीजिए (संतत)।
परिणाम जाँचिए: निर्गत आरंभ-समयों के योग पर शुरू होता है, अंत-समयों के योग पर समाप्त होता है, और उसका क्षेत्रफल या योग निवेशों के क्षेत्रफलों या योगों का गुणनफल होता है।
2अभ्यास प्रश्न
1.संवलन और LTI तंत्रमध्यम
स्पंद x(t) = 1, 0 ≤ t < 4 s के लिए, स्पंद h(t) = 3, 0 ≤ t < 2 s के लिए के साथ संवलित किया जाता है। y(t) = x(t) ∗ h(t) के अंतर्गत क्षेत्रफल Ay ज्ञात कीजिए।
x(t) = 1, 0 ≤ t < 4 sh(t) = 3, 0 ≤ t < 2 s
Ay =
2.संवलन और LTI तंत्रकठिन
निवेश x(t) = 10·cos(30t) को h(t) = 5·e−20tu(t) वाले तंत्र पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था निर्गत का आयाम Ym ज्ञात कीजिए।
h(t) = 5e−20tu(t)x(t) = 10cos(30t)
Ym =
3.लाप्लास रूपांतरमध्यम
F(s) = (6s + 25)/(s² + 14s + 48)। इसका प्रतिलोम रूपांतर f(t) = A·e−6t + B·e−8t के रूप का है। आंशिक भिन्नों से गुणांक A ज्ञात कीजिए।
F(s) = (6s + 25)/(s² + 14s + 48)
A =
4.लाप्लास रूपांतरकठिन
एक तंत्र y″ + 11y′ + 30y = 180·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 10 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.2) ज्ञात कीजिए।
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 7/(s² + 4s + 7) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। ध्रुव s = σ ± jωd हैं। वास्तविक भाग σ ज्ञात कीजिए।
G(s) = 7/(s² + 4s + 7)
σ =
6.सोपान अनुक्रियाकठिन
एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/(s(s + 8)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 25 % अतिलंघन वाली सोपान अनुक्रिया देती है।
G(s) = K/(s(s + 8))%OS = 25 %
K =
7.बोडे आरेख और सीमाएँमध्यम
दर्शाए गए श्रेणी RLC बैंड-पारक फ़िल्टर में निर्गम R = 2 Ω के आर-पार लिया गया है, L = 10 mH और C = 1 µF के साथ। −3 dB बैंडविड्थ BW Hz में ज्ञात कीजिए।
R = 2 ΩL = 10 mHC = 1 µF
BW = Hz
8.बोडे आरेख और सीमाएँकठिन
एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 6 dB की लब्धि सीमा देती है।
L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))GM = 6 dB
K =
3विलयन
1.संवलन और LTI तंत्र
उत्तर: Ay = 24
संतत संवलन: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ। h को उलटिए, उसे स्थिति t तक खिसकाइए और अतिव्यापी भागों के गुणनफल का समाकलन कीजिए। कार्य-कारण संकेतों के लिए समाकल 0 से t तक चलता है। उपयोगी परिणाम: y का क्षेत्रफल x के क्षेत्रफल गुणा h के क्षेत्रफल के बराबर होता है; यदि x, t₁ से t₂ तक रहता है और h, t₃ से t₄ तक, तो y, t₁ + t₃ से t₂ + t₄ तक रहता है। h(t) = e−atu(t) और ऊँचाई A के सोपान के लिए y(t) = (A/a)(1 − e−at)।
निवेशों के क्षेत्रफल
∫x dt = 1·4 = 4
∫h dt = 3·2 = 6
निर्गत का क्षेत्रफल
Ay = 4·6 = 24
उत्तर
Ay = 24
2.संवलन और LTI तंत्र
उत्तर: Ym = 1.387
आवेग अनुक्रिया और फूरिए श्रेणी: आवेग अनुक्रिया h(t) किसी LTI तंत्र का पूरा वर्णन करती है: y′ + a·y = b·x के लिए यह h(t) = b·e−atu(t) है, और y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] के लिए h[n] = b·aⁿu[n]। ज्यावक्रीय cos ωt लब्धि |H(jω)| और कला ∠H(jω) के साथ गुज़रता है, जहाँ H, h का फूरिए रूपांतर है। आवर्ती संकेत k/T पर हार्मोनिकों का योग है: ±A का वर्ग तरंग केवल विषम हार्मोनिक रखता है जिनके आयाम 4A/(kπ) हैं, शिखर A की त्रिभुज तरंग में 8A/(π²k²) होता है, और ऊँचाई A तथा कर्तव्य चक्र D की स्पंद श्रेणी का माध्य A·D और हार्मोनिक (2A/(kπ))·|sin(kπD)| होते हैं।
आवृत्ति अनुक्रिया
H(jω) = 5/(20 + jω)
निवेश आवृत्ति पर लब्धि
|H(j30)| = 5/√(20² + 30²) = 0.1387
Ym = 10·0.1387 = 1.387
उत्तर
Ym = 1.387
3.लाप्लास रूपांतर
उत्तर: A = −5.5
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
हर का गुणनखंड करें
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
कवर-अप नियम
(s + 6) से गुणा करें और s = −6 रखें: B-पद लुप्त हो जाता है।
A = (6s + 25)/(s + 8) |s = −6 = −11/2 = −5.5
उत्तर
A = −5.5
(B = 11.5, इसलिए f(t) = −5.5·e−6t + 11.5·e−8t)
4.लाप्लास रूपांतर
उत्तर: y(0.2) = 17.92
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
समीकरण का रूपांतर करें
Y(s) = 1800/(s(s + 5)(s + 6))
आंशिक भिन्न
A = 1800/(5·6) = 60
B = 1800/((−5)·1) = −360
C = 1800/((−6)·(−1)) = 300
निर्गम
y(t) = 60 − 360·e−5t + 300·e−6t
y(0.2) = 17.92
उत्तर
y(0.2) = 17.92
5.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: σ = −2
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 7 → ωₙ = 2.646 rad/s
2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·2.646) = 0.7559
परिणाम
σ = −ζωₙ = −4/2 = −2
उत्तर
σ = −2
6.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: K = 98.17
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
संवृत-लूप अंतरण फलन
T(s) = K/(s² + 8s + K)
अतिलंघन से अवमंदन अनुपात
ζ = −ln(0.25)/√(π² + ln²(0.25)) = 0.4037
लब्धि
ωₙ = 8/(2ζ) = 9.908 rad/s
K = ωₙ² = 98.17
उत्तर
K = 98.17
7.बोडे आरेख और सीमाएँ
उत्तर: BW = 31.83 Hz
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
अनुनादी आवृत्ति
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·1 × 10⁻⁶) = 10000 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 1592 Hz
बैंडविड्थ
BW = R/L = 2/0.01 = 200 rad/s = 31.83 Hz
उत्तर
BW = 31.83 Hz
8.बोडे आरेख और सीमाएँ
उत्तर: K = 24.06
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।