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1सूत्र और विधियाँ
सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल
परिमाण
|a| = √(ax² + ay² + az²)
इकाई सदिश
û = a/|a|
कोण से घटक
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
अदिश गुणनफल
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप
a·b/|b|
कार्य
W = F·d
सदिश गुणनफल
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
क्षेत्रफल
समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण
MO = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन
V = |a·(b × c)|
विधि
हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।
बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण
M = F·d
विधि
मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣFy = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।
ट्रस: जोड़ विधि
संधि विधि
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
खंड विधि
ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल
धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन
विधि
पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।
फ़्रेम और मशीनें
हर अवयव का संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
द्वि-बल अवयव
इसके दोनों पिनों से गुज़रने वाली रेखा के अनुदिश बल
पिन बल
जोड़े गए दोनों अवयवों पर समान और विपरीत
पिन बल का परिमाण
F = √(Fx² + Fy²)
उत्तोलक, प्लायर, बेल क्रैंक
Fin·a = Fout·b
टॉगल
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
विधि
पूरी संरचना बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयव पहचानें: केवल दो पिनों पर भारित, उनका बल दोनों पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगता है।
फ़्रेम को अलग-अलग करें और हर अवयव को अकेले बनाएँ, जहाँ अवयव मिलते हैं वहाँ समान और विपरीत पिन बल रखें।
हर अवयव के लिए किसी ऐसे पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, फिर ΣFx = 0 और ΣFy = 0 उपयोग करें; अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8
विधि
पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2अभ्यास प्रश्न
1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम
a = (−4, 7, 0) और b = (4, 0, 1) का अदिश गुणनफल a·b ज्ञात कीजिए।
a = (−4, 7, 0)b = (4, 0, 1)
a·b =
2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन
उस समांतर षट्फलक का आयतन V ज्ञात कीजिए जिसकी एक कोने से भुजाएँ a = (−5, −3, 4), b = (1, 2, 5) और c = (0, 1, −3) हैं।
a = (−5, −3, 4)b = (1, 2, 5)c = (0, 1, −3)
V =
3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम
बीम में A पर पिन और A से 2.5 m पर B पर रोलर है, और यह B से आगे मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। ऊपर की ओर को धनात्मक लेते हुए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया RA ज्ञात कीजिए।
AB = 2.5 mAC = 4 mP1 = 55 kN पर 2 mP2 = 75 kN पर 4 m
RA = kN
4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन
सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया RA ज्ञात कीजिए।
L = 5 mP = 40 kN पर 3 mw = 8 kN/m, 0 से 2 m तक
RA = kN
5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम
इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।
B: 35 kN ↓C: 15 kN ↓G: 35 kN ↓
1सदस्य AB
2सदस्य BC
3सदस्य CD
4सदस्य DE
5सदस्य FG
6सदस्य GH
7सदस्य AF
8सदस्य HE
9सदस्य BF
10सदस्य CG
11सदस्य DH
12सदस्य FC
13सदस्य HC
6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन
जोड़ विधि से अवयव BC में बल FBC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।
विस्तार = 6 mऊँचाई = 2 mB, A से 4 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 20 kNक्षैतिज भार = 5 kN ←
FBC = kN
7.फ़्रेम और मशीनेंमध्यम
दिखाया गया A-फ़्रेम A पर पिन और B पर रोलर पर खड़ा है, जो 6 m दूर हैं। पाए पिन C पर मिलते हैं, जो 2.5 m ऊँचा है, और क्षैतिज टाई DE भूमि से 1.5 m ऊपर है। C पर 15 kN का भार लगता है। पिन C का पाए BC पर लगाए गए बल C का परिमाण ज्ञात कीजिए।
P = 15 kNAB = 6 mC की ऊँचाई = 2.5 mDE की ऊँचाई = 1.5 m
C = kN
8.फ़्रेम और मशीनेंकठिन
दिखाया गया A-फ़्रेम A पर पिन और B पर रोलर पर खड़ा है, जो 4 m दूर हैं, इसका शीर्ष पिन C 2.4 m ऊँचा है और क्षैतिज टाई DE भूमि से 1.2 m ऊपर है। पाए AC पर K पर, जो A से 1.5 m (क्षैतिज) दूर है, 6 kN का ऊर्ध्वाधर भार लगता है। पिन C का पाए BC पर लगाए गए बल C का परिमाण ज्ञात कीजिए।
P = 6 kNAB = 4 mC की ऊँचाई = 2.4 mDE की ऊँचाई = 1.2 mA से K तक क्षैतिज दूरी = 1.5 m
C = kN
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।
40 kN @ 5 m60 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
आलंब A से x = 3.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।
L = 6 mP = 25 kN पर 5 mw = 6 kN/m, 0 से 6 m तकx = 3.5 m
Mx = kN·m
11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
150 mm × 240 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 40 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 84 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmछिद्र का केंद्र: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 30 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σनीचे ज्ञात कीजिए।
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
संगत घटकों को गुणा करें और जोड़ें
a·b = (−4)·4 + 7·0 + 0·1 = (−16) + 0 + 0 = −16
उत्तर
a·b = −16
ऋणात्मक: सदिशों के बीच का कोण 90° से अधिक है।
2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल
उत्तर: V = 50
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
सदिश गुणनफल b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 2·(−3) − 5·1 = −11
(b × c)y = bzcx − bxcz = 5·0 − 1·(−3) = 3
(b × c)z = bxcy − bycx = 1·1 − 2·0 = 1
a के साथ अदिश गुणनफल
a·(b × c) = (−5)·(−11) + (−3)·3 + 4·1 = 50
V = |50| = 50
उत्तर
V = 50
3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
उत्तर: RA = −34 kN
स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।
A के परितः आघूर्ण
वामावर्त धनात्मक।
ΣMA = 0: RB·2.5 = 55·2 + 75·4
RB = 410/2.5 = 164 kN
ऊर्ध्वाधर संतुलन
RA = 55 + 75 − 164 = −34 kN
उत्तर
RA = −34 kN
RA ऋणात्मक है: A पर पिन को बीम को नीचे थामना पड़ता है।
4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
उत्तर: RA = 28.8 kN
स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।
मुक्त-पिंड आरेख
आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।
संतुलन
A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, x̄ = 1 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·5 = 40·3 + 8·2·1
RB = 136/5 = 27.2 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 27.2 = 28.8 kN
उत्तर
RA = 28.8 kN
5.ट्रस: जोड़ विधि
उत्तर: सदस्य DH
शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।
संधि D
CD और DE एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल DH बचता है।
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
संधि विधि से जाँचें
सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।
जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·4 − 5·2 → Cy = 11.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 11.67 = 8.333 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
जोड़ C
रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।
sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।
पाए BC से टाई बल
By = 7.5 kN
T = 7.5·3/1 = 22.5 kN
BC पर पिन बल के घटक
Cx = T = 22.5 kN, Cy = −By = −7.5 kN
परिमाण
C = √(22.5² + 7.5²) = 23.72 kN
उत्तर
C = 23.72 kN
8.फ़्रेम और मशीनें
उत्तर: C = 4.373 kN
फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।
B पर आलंब प्रतिक्रिया
By = 6·1.5/4 = 2.25 kN
टाई बल
T = 2.25·2/1.2 = 3.75 kN
BC पर पिन बल
Cx = 3.75 kN, Cy = −2.25 kN
C = √(3.75² + 2.25²) = 4.373 kN
उत्तर
C = 4.373 kN
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: C (x = 2 m)
सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।
R1 = 46.67 kN, R2 = 53.33 kN
हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण
कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।
MA = 0, MB = 46.67, MC = 93.33 kN·m, MD = 80, ME = 66.67, MF = 53.33, MG = 0
उत्तर
चिह्न C: MC = 93.33 kN·m
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mx = 40.83 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 25·5 + 6·6·3
RB = 233/6 = 38.83 kN
ΣFy = 0: RA = 61 − 38.83 = 22.17 kN
x = 3.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें
केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।
M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 22.17·3.5 − 6·3.5·1.75 = 40.83 kN·m
उत्तर
Mx = 40.83 kN·m
11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (36000·120 − 1257·84)/(36000 − 1257) = 121.3 mm
ȳ के परितः पूरी प्लेट
150·240³/12 + 36000·−1.302² = 172.9 × 10⁶ mm⁴
ȳ के परितः छिद्र
π·40⁴/64 + 1257·−37.3² = 1.874 × 10⁶ mm⁴
घटाइए
Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: σनीचे = 192.4 MPa
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm