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1सूत्र और विधियाँ
सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल
परिमाण
|a| = √(ax² + ay² + az²)
इकाई सदिश
û = a/|a|
कोण से घटक
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
अदिश गुणनफल
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप
a·b/|b|
कार्य
W = F·d
सदिश गुणनफल
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
क्षेत्रफल
समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण
MO = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन
V = |a·(b × c)|
विधि
हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।
बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण
M = F·d
विधि
मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣFy = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।
ट्रस: जोड़ विधि
संधि विधि
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
खंड विधि
ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल
धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन
विधि
पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।
फ़्रेम और मशीनें
हर अवयव का संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
द्वि-बल अवयव
इसके दोनों पिनों से गुज़रने वाली रेखा के अनुदिश बल
पिन बल
जोड़े गए दोनों अवयवों पर समान और विपरीत
पिन बल का परिमाण
F = √(Fx² + Fy²)
उत्तोलक, प्लायर, बेल क्रैंक
Fin·a = Fout·b
टॉगल
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
विधि
पूरी संरचना बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयव पहचानें: केवल दो पिनों पर भारित, उनका बल दोनों पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगता है।
फ़्रेम को अलग-अलग करें और हर अवयव को अकेले बनाएँ, जहाँ अवयव मिलते हैं वहाँ समान और विपरीत पिन बल रखें।
हर अवयव के लिए किसी ऐसे पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, फिर ΣFx = 0 और ΣFy = 0 उपयोग करें; अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8
विधि
पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2अभ्यास प्रश्न
1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम
k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए सदिश a = (−2, 3, −4) और b = (−2, 2, k) लंबवत हैं।
a = (−2, 3, −4)b = (−2, 2, k)
k =
2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन
a = (3, 5, −2) और b = (6, −2, −3) के लिए सदिश गुणनफल a × b का x-घटक (a × b)x ज्ञात कीजिए।
a = (3, 5, −2)b = (6, −2, −3)
(a × b)x =
3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम
सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया RA ज्ञात कीजिए।
L = 10 mP1 = 45 kN पर 3 mP2 = 30 kN पर 9 m
RA = kN
4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन
सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया RA ज्ञात कीजिए।
L = 10 mP = 40 kN पर 2 mw = 12 kN/m, 8 से 10 m तक
RA = kN
5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम
इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।
C: 35 kN ↓D: 15 kN ↓G: 10 kN ↓
1सदस्य AB
2सदस्य BC
3सदस्य CD
4सदस्य DE
5सदस्य FG
6सदस्य GH
7सदस्य AF
8सदस्य HE
9सदस्य BF
10सदस्य CG
11सदस्य DH
12सदस्य FC
13सदस्य HC
6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन
जोड़ विधि से अवयव AB में बल FAB ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।
विस्तार = 8 mऊँचाई = 3 mB, A से 3 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 30 kNक्षैतिज भार = 5 kN →
FAB = kN
7.फ़्रेम और मशीनेंमध्यम
दिखाया गया A-फ़्रेम A पर पिन और B पर रोलर पर खड़ा है, जो 2 m दूर हैं, इसका शीर्ष पिन C 3.6 m ऊँचा है और क्षैतिज टाई DE भूमि से 0.8 m ऊपर है। पाए AC पर K पर, जो A से 0.6 m (क्षैतिज) दूर है, 4 kN का ऊर्ध्वाधर भार लगता है। टाई में तनाव T ज्ञात कीजिए।
P = 4 kNAB = 2 mC की ऊँचाई = 3.6 mDE की ऊँचाई = 0.8 mA से K तक क्षैतिज दूरी = 0.6 m
T = kN
8.फ़्रेम और मशीनेंकठिन
एक टॉगल प्रेस में दो बराबर कड़ियाँ AB और BC हैं, हर एक पिनों के बीच 80 mm लंबी। जोड़ B रेखा AC से 12 mm ऊपर है। B पर कौन-सा नीचे की ओर बल F स्लाइडर C पर 2000 N का क्षैतिज दबाव बल उत्पन्न करता है? घर्षण और भारों की उपेक्षा करें।
Q = 2000 NAB = BC = 80 mmh = 12 mm
F = N
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
आलंब A से x = 3.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।
L = 5 mw = 5 kN/m, 0 से 5 m तकx = 3.5 m
Mx = kN·m
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 6 mw = 24 kN/m, 2 से 6 m तक
Mmax = kN·m
11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
100 mm × 240 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 60 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 168 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mmछिद्र का केंद्र: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
100 mm × 240 mm की एक प्लेट में 30 mm चौड़ा और 20 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 168 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 100 mmh = 240 mmकटाव: 30 × 20 mmछिद्र का केंद्र: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3विलयन
1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल
उत्तर: k = 2.5
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
अदिश गुणनफल शून्य के बराबर
a·b = (−2)·(−2) + 3·2 + (−4)·k = 0
10 + (−4)·k = 0
k के लिए हल करें
k = −10/(−4) = 2.5
उत्तर
k = 2.5
2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल
उत्तर: (a × b)x = −19
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
सदिश गुणनफल, घटक-दर-घटक
(a × b)x = aybz − azby = 5·(−3) − (−2)·(−2) = −19
(a × b)y = azbx − axbz = (−2)·6 − 3·(−3) = −3
(a × b)z = axby − aybx = 3·(−2) − 5·6 = −36
पूछा गया घटक
(a × b)x = −19
उत्तर
(a × b)x = −19
जाँच: a × b दोनों सदिशों के लंबवत है, इसलिए a और b के साथ इसका अदिश गुणनफल शून्य है।
3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
उत्तर: RA = 34.5 kN
स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।
मुक्त-पिंड आरेख
आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।
संतुलन
A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।
ΣMA = 0: RB·10 = 45·3 + 30·9
RB = 405/10 = 40.5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 40.5 = 34.5 kN
उत्तर
RA = 34.5 kN
4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
उत्तर: RA = 34.4 kN
स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।
मुक्त-पिंड आरेख
आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।
संतुलन
A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, x̄ = 9 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·10 = 40·2 + 12·2·9
RB = 296/10 = 29.6 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 29.6 = 34.4 kN
उत्तर
RA = 34.4 kN
5.ट्रस: जोड़ विधि
उत्तर: सदस्य BF
शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।
संधि B
AB और BC एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल BF बचता है।
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
संधि विधि से जाँचें
सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।
जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·3 + 5·3 → Cy = 13.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 13.13 = 16.88 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
जोड़ A
मानें कि हर अवयव तनाव में है (जोड़ से दूर खींचता है)। A पर केवल AB का ऊर्ध्वाधर घटक है।
sin α = 3/4.243 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16.88/0.7071 = −23.86 kN
उत्तर
FAB = −23.86 kN (संपीडन)
7.फ़्रेम और मशीनें
उत्तर: T = 0.4286 kN
फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।
पूरा फ़्रेम: A के परितः आघूर्ण
By = 4·0.6/2 = 1.2 kN
पाया BC: C के परितः आघूर्ण
1.2·1 = T·2.8
T = 0.4286 kN
उत्तर
T = 0.4286 kN
8.फ़्रेम और मशीनें
उत्तर: F = 606.9 N
मशीनें: प्लायर, उत्तोलक, लिंकेज और क्लैंप निवेश बल को बड़े या भिन्न दिशा वाले निर्गत बल में बदलते हैं। एक भाग को मुक्त पिंड के रूप में बनाएँ और उसके धुराग्र के परितः आघूर्ण लें: पिन बल हट जाता है, और Fin·a = Fout·b से यांत्रिक लाभ a/b मिलता है। फिर पिन बल उसी भाग पर ΣF = 0 से मिलता है। टॉगल में दो कड़ियाँ उथले कोण θ पर मिलती हैं; हर कड़ी द्वि-बल अवयव है, इसलिए जोड़ पर छोटा बल F कड़ियों में बड़े बल F/(2 sin θ) और जकड़ने वाले बल F/(2 tan θ) को जन्म देता है।
कड़ी का कोण
sin θ = 12/80 = 0.15, θ = 8.627°
कड़ी का बल
Flink = Q/cos θ = 2023 N
B पर बल
F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 606.9 N
उत्तर
F = 606.9 N
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mx = 13.13 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·5 = 5·5·2.5
RB = 62.5/5 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 12.5 = 12.5 kN
x = 3.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें
केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।
M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 12.5·3.5 − 5·3.5·1.75 = 13.13 kN·m
उत्तर
Mx = 13.13 kN·m
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 85.33 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 24·4 = 96 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 24·4·4
RB = 384/6 = 64 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 64 = 32 kN
शून्य अपरूपण
अपरूपण बल RA से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (24000·120 − 2827·168)/(24000 − 2827) = 113.6 mm
ȳ के परितः पूरी प्लेट
100·240³/12 + 24000·6.41² = 116.2 × 10⁶ mm⁴
ȳ के परितः छिद्र
π·60⁴/64 + 2827·54.41² = 9.007 × 10⁶ mm⁴
घटाइए
Ix = 107.2 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 107.2 × 10⁶ mm⁴
12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 113.8 × 10⁶ mm⁴
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (24000·120 − 600·168)/(24000 − 600) = 118.8 mm