स्थैतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

परिमाण: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
इकाई सदिश: û = a/|a|
कोण से घटक: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
अदिश गुणनफल: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप: a·b/|b|
कार्य: W = F·d
सदिश गुणनफल: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
क्षेत्रफल: समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण: M_O = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन: V = |a·(b × c)|

विधि

हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
खंड विधि: ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल: धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣF_x = 0 तथा ΣF_y = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

फ़्रेम और मशीनें

हर अवयव का संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
द्वि-बल अवयव: इसके दोनों पिनों से गुज़रने वाली रेखा के अनुदिश बल
पिन बल: जोड़े गए दोनों अवयवों पर समान और विपरीत
पिन बल का परिमाण: F = √(F_x² + F_y²)
उत्तोलक, प्लायर, बेल क्रैंक: F_in·a = F_out·b
टॉगल: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में

विधि

पूरी संरचना बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयव पहचानें: केवल दो पिनों पर भारित, उनका बल दोनों पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगता है।
फ़्रेम को अलग-अलग करें और हर अवयव को अकेले बनाएँ, जहाँ अवयव मिलते हैं वहाँ समान और विपरीत पिन बल रखें।
हर अवयव के लिए किसी ऐसे पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, फिर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0 उपयोग करें; अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2अभ्यास प्रश्न

1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम

सदिशों a = (−4, −2, −5) और b = (4, 5, 4) के बीच का कोण θ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

a = (−4, −2, −5)b = (4, 5, 4)

θ = °

2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन

उस समांतर षट्फलक का आयतन V ज्ञात कीजिए जिसकी एक कोने से भुजाएँ a = (2, 4, 5), b = (5, 4, −2) और c = (4, 1, −2) हैं।

a = (2, 4, 5)b = (5, 4, −2)c = (4, 1, −2)

V =

3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP₁ = 15 kN पर 3 mP₂ = 20 kN पर 4 m

R_A = kN

4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

बीम में A पर पिन और A से 3 m पर B पर रोलर है, और यह B से आगे मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह A से 1 m पर बिंदु भार P और 2.5 m से 4 m पर मुक्त सिरे तक समान वितरित भार w वहन करता है। ऊपर की ओर को धनात्मक लेते हुए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

AB = 3 mAC = 4 mP = 50 kN पर 1 mw = 4 kN/m, 2.5 से 4 m तक

R_B = kN

5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम

जोड़ विधि से अवयव BC में बल F_BC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 8 mऊँचाई = 2 mB, A से 2 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 30 kN

F_BC = kN

6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन

जोड़ विधि से अवयव AC में बल F_AC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 5 mऊँचाई = 3 mB, A से 2 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 15 kNक्षैतिज भार = 25 kN →

F_AC = kN

7.फ़्रेम और मशीनेंमध्यम

एक क्षैतिज कड़ी AB दीवार में A पर पिन से जुड़ी है और स्ट्रट CD से टिकी है, जो दीवार में A से 0.6 m नीचे C पर पिन से जुड़ा है। B पर 5 kN का भार लटका है। भारों की उपेक्षा करें। A पर कड़ी पर पिन बल A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

P = 5 kNAD = 0.8 mAB = 1.5 mAC = 0.6 m

A = kN

8.फ़्रेम और मशीनेंकठिन

0.5 kN भार की एक एकसमान क्षैतिज बूम AB दीवार में A पर पिन से जुड़ी है और अपने सिरे B से दीवार पर बिंदु C तक एक केबल से थमी है, जो A से 4 m ऊपर है। B पर 2 kN का भार लटका है। केबल में तनाव T ज्ञात कीजिए।

W = 2 kNW_b = 0.5 kNAB = 3 mAC = 4 m

T = kN

9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 3.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 8 mw = 2 kN/m, 0 से 8 m तकx = 3.5 m

M_x = kN·m

10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच अधिकतम सैगिंग बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 7 mw = 2 kN/m, 0 से 7 m तकआलंब x = 0 और x = 5 m पर

M_max = kN·m

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

120 mm × 150 mm की एक प्लेट में 40 mm चौड़ा और 50 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 45 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 120 mmh = 150 mmकटाव: 40 × 50 mmछिद्र का केंद्र: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3विलयन

1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: θ = 155.3 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

अदिश गुणनफल

a·b = (−4)·4 + (−2)·5 + (−5)·4 = −46

परिमाण

|a| = √((−4)² + (−2)² + (−5)²) = 6.708

|b| = √(4² + 5² + 4²) = 7.55

कोण

cos θ = −46/(6.708·7.55) = −0.9083

θ = arccos(−0.9083) = 155.3°

उत्तर

θ = 155.3°

2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: V = 59

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

सदिश गुणनफल b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·(−2) − (−2)·1 = −6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−2)·4 − 5·(−2) = 2

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·1 − 4·4 = −11

a के साथ अदिश गुणनफल

a·(b × c) = 2·(−6) + 4·2 + 5·(−11) = −59

V = |−59| = 59

उत्तर

V = 59

3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 22.5 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·3 + 20·4

R_B = 125/10 = 12.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 12.5 = 22.5 kN

उत्तर

R_A = 22.5 kN

4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_B = 23.17 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।

वितरित भार का परिणामी

W = 4·1.5 = 6 kN, x̄ = (2.5 + 4)/2 = 3.25 m

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·3 = 50·1 + 6·3.25

R_B = 69.5/3 = 23.17 kN

R_A = 56 − 23.17 = 32.83 kN

उत्तर

R_B = 23.17 kN

5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_BC = −23.72 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·2 → C_y = 7.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 7.5 = 22.5 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 2/6.325 = 0.3162, cos γ = 6/6.325 = 0.9487

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7.5/0.3162 = −23.72 kN

उत्तर

F_BC = −23.72 kN (संपीडन)

6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_AC = 21 kN

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 + 25·3 → C_y = 21 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 21 = −6 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

जोड़ C

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21/0.7071 = −29.7 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−29.7)·0.7071 = 21 kN

उत्तर

F_AC = 21 kN (तनाव)

7.फ़्रेम और मशीनें

उत्तर: A = 13.24 kN

फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।

स्ट्रट बल

F_CD = 5·1.5/(0.6·0.8) = 15.63 kN

A पर घटक

A_x = F_CD·cos α = 12.5 kN (दीवार की ओर)

A_y = 5 − F_CD·sin α = −4.375 kN

परिमाण

A = √(12.5² + −4.375²) = 13.24 kN

उत्तर

A = 13.24 kN

ऋणात्मक A_y का अर्थ है कि दीवार A पर कड़ी को नीचे खींचती है।

8.फ़्रेम और मशीनें

उत्तर: T = 2.813 kN

केबल का कोण

BC = √(3² + 4²) = 5 m, sin β = 0.8

A के परितः आघूर्ण

T·0.8·3 = 2·3 + 0.5·1.5

T = 2.813 kN

उत्तर

T = 2.813 kN

9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 15.75 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

x = 3.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 8·3.5 − 2·3.5·1.75 = 15.75 kN·m

उत्तर

M_x = 15.75 kN·m

10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 4.41 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN, x̄ = 3.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·7·3.5

R_B = 49/5 = 9.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 14 − 9.8 = 4.2 kN

शून्य अपरूपण

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 4.2/2 = 2.1 m

अधिकतम सैगिंग आघूर्ण

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 4.2²/(2·2) = 4.41 kN·m

उत्तर

M_max = 4.41 kN·m

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 48.95 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

वेब: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·235 + 4400·110)/8000 = 166.3 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 120·30³/12 + 3600·(235 − 166.3)² = 1.729 × 10⁷ mm⁴

वेब: 20·220³/12 + 4400·(110 − 166.3)² = 3.167 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.729 × 10⁷ + 3.167 × 10⁷ = 4.895 × 10⁷ mm⁴ = 48.95 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 48.95 × 10⁶ mm⁴

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 31.31 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (18000·75 − 2000·45)/(18000 − 2000) = 78.75 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

120·150³/12 + 18000·−3.75² = 34 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

40·50³/12 + 2000·−33.75² = 2.695 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 31.31 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 31.31 × 10⁶ mm⁴

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