जोड़ विधि से अवयव AB में बल FAB ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।
विस्तार = 5 mऊँचाई = 2 mB, A से 2 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 55 kNक्षैतिज भार = 10 kN →
FAB = kN
7.फ़्रेम और मशीनेंमध्यम
दिखाया गया A-फ़्रेम A पर पिन और B पर रोलर पर खड़ा है, जो 6 m दूर हैं। पाए पिन C पर मिलते हैं, जो 2.4 m ऊँचा है, और क्षैतिज टाई DE भूमि से 1 m ऊपर है। C पर 6 kN का भार लगता है। पिन C का पाए BC पर लगाए गए बल C का परिमाण ज्ञात कीजिए।
P = 6 kNAB = 6 mC की ऊँचाई = 2.4 mDE की ऊँचाई = 1 m
C = kN
8.फ़्रेम और मशीनेंकठिन
एक टॉगल प्रेस में दो बराबर कड़ियाँ AB और BC हैं, हर एक पिनों के बीच 150 mm लंबी। जोड़ B रेखा AC से 5 mm ऊपर है। B पर कौन-सा नीचे की ओर बल F स्लाइडर C पर 3000 N का क्षैतिज दबाव बल उत्पन्न करता है? घर्षण और भारों की उपेक्षा करें।
Q = 3000 NAB = BC = 150 mmh = 5 mm
F = N
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।
40 kN @ 3 m6 kN/m, 0–6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।
30 kN @ 0 m20 kN @ 12 m35 kN @ 6 m8 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
एक वेल्डित I-खंड का ऊपरी फ़्लेंज 200 × 12 mm, वेब 390 mm ऊँचा और 16 mm मोटा, और निचला फ़्लेंज 280 × 22 mm (चौड़ाई × मोटाई) है। उसके केंद्रक से होकर जाने वाली क्षैतिज अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
सदिश गुणनफल b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−1)·3 − 4·(−4) = 13
(b × c)y = bzcx − bxcz = 4·5 − (−2)·3 = 26
(b × c)z = bxcy − bycx = (−2)·(−4) − (−1)·5 = 13
a के साथ अदिश गुणनफल
a·(b × c) = (−1)·13 + (−4)·26 + (−4)·13 = −169
V = |−169| = 169
उत्तर
V = 169
3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
उत्तर: RB = 30.63 kN
स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।
मुक्त-पिंड आरेख
आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।
संतुलन
A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1.5 + 50·2
RB = 122.5/4 = 30.63 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 30.63 = 34.38 kN
उत्तर
RB = 30.63 kN
4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
उत्तर: RA = 30 kN
स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।
मुक्त-पिंड आरेख
आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।
संतुलन
A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, x̄ = 1 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2 + 5·2·1
RB = 100/4 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 25 = 30 kN
उत्तर
RA = 30 kN
5.ट्रस: जोड़ विधि
उत्तर: सदस्य DH
शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।
संधि D
CD और DE एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल DH बचता है।
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
संधि विधि से जाँचें
सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।
जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।
ΣMA = 0: Cy·5 = 55·2 + 10·2 → Cy = 26 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 26 = 29 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
जोड़ A
मानें कि हर अवयव तनाव में है (जोड़ से दूर खींचता है)। A पर केवल AB का ऊर्ध्वाधर घटक है।
sin α = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −29/0.7071 = −41.01 kN
उत्तर
FAB = −41.01 kN (संपीडन)
7.फ़्रेम और मशीनें
उत्तर: C = 7.094 kN
फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।
पाए BC से टाई बल
By = 3 kN
T = 3·3/1.4 = 6.429 kN
BC पर पिन बल के घटक
Cx = T = 6.429 kN, Cy = −By = −3 kN
परिमाण
C = √(6.429² + 3²) = 7.094 kN
उत्तर
C = 7.094 kN
8.फ़्रेम और मशीनें
उत्तर: F = 200.1 N
मशीनें: प्लायर, उत्तोलक, लिंकेज और क्लैंप निवेश बल को बड़े या भिन्न दिशा वाले निर्गत बल में बदलते हैं। एक भाग को मुक्त पिंड के रूप में बनाएँ और उसके धुराग्र के परितः आघूर्ण लें: पिन बल हट जाता है, और Fin·a = Fout·b से यांत्रिक लाभ a/b मिलता है। फिर पिन बल उसी भाग पर ΣF = 0 से मिलता है। टॉगल में दो कड़ियाँ उथले कोण θ पर मिलती हैं; हर कड़ी द्वि-बल अवयव है, इसलिए जोड़ पर छोटा बल F कड़ियों में बड़े बल F/(2 sin θ) और जकड़ने वाले बल F/(2 tan θ) को जन्म देता है।
कड़ी का कोण
sin θ = 5/150 = 0.03333, θ = 1.91°
कड़ी का बल
Flink = Q/cos θ = 3002 N
B पर बल
F = 2·Flink·sin θ = 2·3000·tan θ = 200.1 N
उत्तर
F = 200.1 N
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: D (x = 3 m)
सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।
R1 = 38 kN, R2 = 38 kN
हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण
कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।
MA = 0, MB = 35, MC = 64, MD = 87 kN·m, ME = 64, MF = 35, MG = 0
उत्तर
चिह्न D: MD = 87 kN·m
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: D (x = 6 m)
सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।
R1 = 82 kN, R2 = 67 kN
हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण
कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।
MA = 0, MB = −60, MC = 28, MD = 84 kN·m, ME = 38, MF = −40, MG = 0
उत्तर
चिह्न D: MD = 84 kN·m
11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 44.61 × 10⁶ mm⁴
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
तीन आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
ऊपरी फ़्लेंज: A = 2400 mm², y = 418 mm
वेब: A = 6240 mm², y = 217 mm
निचला फ़्लेंज: A = 6160 mm², y = 11 mm
केंद्रक
ȳ = (2400·418 + 6240·217 + 6160·11)/14800 = 163.9 mm