स्थैतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

परिमाण: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
इकाई सदिश: û = a/|a|
कोण से घटक: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
अदिश गुणनफल: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप: a·b/|b|
कार्य: W = F·d
सदिश गुणनफल: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
क्षेत्रफल: समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण: M_O = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन: V = |a·(b × c)|

विधि

हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
खंड विधि: ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल: धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣF_x = 0 तथा ΣF_y = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

फ़्रेम और मशीनें

हर अवयव का संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
द्वि-बल अवयव: इसके दोनों पिनों से गुज़रने वाली रेखा के अनुदिश बल
पिन बल: जोड़े गए दोनों अवयवों पर समान और विपरीत
पिन बल का परिमाण: F = √(F_x² + F_y²)
उत्तोलक, प्लायर, बेल क्रैंक: F_in·a = F_out·b
टॉगल: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में

विधि

पूरी संरचना बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयव पहचानें: केवल दो पिनों पर भारित, उनका बल दोनों पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगता है।
फ़्रेम को अलग-अलग करें और हर अवयव को अकेले बनाएँ, जहाँ अवयव मिलते हैं वहाँ समान और विपरीत पिन बल रखें।
हर अवयव के लिए किसी ऐसे पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, फिर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0 उपयोग करें; अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2अभ्यास प्रश्न

1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम

एक स्थिर बल F = (20, −20, 15) N किसी वस्तु पर कार्य करता है जब वह बिंदु A(−1, −1, 4) से बिंदु B(0, −5, 1) तक सीधी रेखा में चलती है। निर्देशांक मीटर में हैं। बल द्वारा किया गया कार्य W ज्ञात कीजिए।

F = (20, −20, 15) NA(−1, −1, 4) mB(0, −5, 1) m

W = J

2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन

कोनों A(−3, 3, 2), B(−2, 0, 4) और C(1, 2, −1) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए। निर्देशांक मीटर में हैं।

A(−3, 3, 2)B(−2, 0, 4)C(1, 2, −1)

A = m²

3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP₁ = 55 kN पर 4 mP₂ = 25 kN पर 9 m

R_A = kN

4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

L = 4 mP = 30 kN पर 2.5 mw = 2 kN/m, 2 से 3 m तक

R_A = kN

5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम

जोड़ विधि से अवयव AC में बल F_AC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 8 mऊँचाई = 2 mB, A से 3 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 30 kN

F_AC = kN

6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन

जोड़ विधि से अवयव BC में बल F_BC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 6 mऊँचाई = 4 mB, A से 4 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 40 kNक्षैतिज भार = 30 kN ←

F_BC = kN

7.फ़्रेम और मशीनेंमध्यम

दिखाया गया A-फ़्रेम A पर पिन और B पर रोलर पर खड़ा है, जो 4.8 m दूर हैं। पाए पिन C पर मिलते हैं, जो 3.6 m ऊँचा है, और क्षैतिज टाई DE भूमि से 0.8 m ऊपर है। C पर 12 kN का भार लगता है। पिन C का पाए BC पर लगाए गए बल C का परिमाण ज्ञात कीजिए।

P = 12 kNAB = 4.8 mC की ऊँचाई = 3.6 mDE की ऊँचाई = 0.8 m

C = kN

8.फ़्रेम और मशीनेंकठिन

एक टॉगल प्रेस में दो बराबर कड़ियाँ AB और BC हैं, हर एक पिनों के बीच 80 mm लंबी। जोड़ B रेखा AC से 12 mm ऊपर है। B पर कौन-सा नीचे की ओर बल F स्लाइडर C पर 1000 N का क्षैतिज दबाव बल उत्पन्न करता है? घर्षण और भारों की उपेक्षा करें।

Q = 1000 NAB = BC = 80 mmh = 12 mm

F = N

9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 2.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 10 mw = 5 kN/m, 0 से 10 m तकx = 2.5 m

M_x = kN·m

10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। A से उस खंड तक की दूरी x₀ ज्ञात कीजिए जहाँ बंकन आघूर्ण सबसे बड़ा है।

L = 6 mw = 10 kN/m, 3 से 5 m तक

x₀ = m

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 5 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_ऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_ऊपर = MPa

3विलयन

1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: W = 55 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

विस्थापन

d = B − A = (0, −5, 1) − (−1, −1, 4) = (1, −4, −3) m

कार्य

W = F·d = 20·1 + (−20)·(−4) + 15·(−3) = 55 J

उत्तर

W = 55 J

2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: A = 9.526 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

भुजा सदिश

AB = B − A = (1, −3, 2)

AC = C − A = (4, −1, −3)

सदिश गुणनफल

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−3)·(−3) − 2·(−1) = 11

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·4 − 1·(−3) = 11

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 1·(−1) − (−3)·4 = 11

|AB × AC| = √(11² + 11² + 11²) = 19.05

त्रिभुज का क्षेत्रफल

A = ½·19.05 = 9.526 m²

उत्तर

A = 9.526 m²

3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 35.5 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·4 + 25·9

R_B = 445/10 = 44.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 44.5 = 35.5 kN

उत्तर

R_A = 35.5 kN

4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 12 kN

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2.5 + 2·1·2.5

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 20 = 12 kN

उत्तर

R_A = 12 kN

5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_AC = 28.12 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·3 → C_y = 11.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 11.25 = 18.75 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11.25/0.3714 = −30.29 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−30.29)·0.9285 = 28.12 kN

उत्तर

F_AC = 28.12 kN (तनाव)

6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_BC = −7.454 kN

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·4 − 30·4 → C_y = 6.667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 6.667 = 33.33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

जोड़ C

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6.667/0.8944 = −7.454 kN

उत्तर

F_BC = −7.454 kN (संपीडन)

7.फ़्रेम और मशीनें

उत्तर: C = 7.902 kN

फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।

पाए BC से टाई बल

B_y = 6 kN

T = 6·2.4/2.8 = 5.143 kN

BC पर पिन बल के घटक

C_x = T = 5.143 kN, C_y = −B_y = −6 kN

परिमाण

C = √(5.143² + 6²) = 7.902 kN

उत्तर

C = 7.902 kN

8.फ़्रेम और मशीनें

उत्तर: F = 303.4 N

मशीनें: प्लायर, उत्तोलक, लिंकेज और क्लैंप निवेश बल को बड़े या भिन्न दिशा वाले निर्गत बल में बदलते हैं। एक भाग को मुक्त पिंड के रूप में बनाएँ और उसके धुराग्र के परितः आघूर्ण लें: पिन बल हट जाता है, और F_in·a = F_out·b से यांत्रिक लाभ a/b मिलता है। फिर पिन बल उसी भाग पर ΣF = 0 से मिलता है। टॉगल में दो कड़ियाँ उथले कोण θ पर मिलती हैं; हर कड़ी द्वि-बल अवयव है, इसलिए जोड़ पर छोटा बल F कड़ियों में बड़े बल F/(2 sin θ) और जकड़ने वाले बल F/(2 tan θ) को जन्म देता है।

कड़ी का कोण

sin θ = 12/80 = 0.15, θ = 8.627°

कड़ी का बल

F_link = Q/cos θ = 1011 N

B पर बल

F = 2·F_link·sin θ = 2·1000·tan θ = 303.4 N

उत्तर

F = 303.4 N

9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 46.88 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

x = 2.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 25·2.5 − 5·2.5·1.25 = 46.88 kN·m

उत्तर

M_x = 46.88 kN·m

10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: x₀ = 3.667 m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2·4

R_B = 80/6 = 13.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 13.33 = 6.667 kN

शून्य अपरूपण

अपरूपण बल R_A से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 6.667/10 = 3.667 m

उत्तर

x₀ = 3.667 m

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 64.51 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

वेब: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·310 + 3000·150)/6600 = 237.3 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 180·20³/12 + 3600·(310 − 237.3)² = 1.916 × 10⁷ mm⁴

वेब: 10·300³/12 + 3000·(150 − 237.3)² = 4.535 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.916 × 10⁷ + 4.535 × 10⁷ = 6.451 × 10⁷ mm⁴ = 64.51 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 64.51 × 10⁶ mm⁴

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_ऊपर = 13.47 MPa

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

वेब: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·250 + 2400·120)/4400 = 179.1 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 100·20³/12 + 2000·(250 − 179.1)² = 1.012 × 10⁷ mm⁴

वेब: 10·240³/12 + 2400·(120 − 179.1)² = 1.99 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.012 × 10⁷ + 1.99 × 10⁷ = 3.002 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।

y = 260 − 179.1 = 80.91 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·80.91/3.002 × 10⁷ = 13.47 MPa

उत्तर

σ_ऊपर = 13.47 MPa

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