स्थैतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

परिमाण: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
इकाई सदिश: û = a/|a|
कोण से घटक: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
अदिश गुणनफल: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप: a·b/|b|
कार्य: W = F·d
सदिश गुणनफल: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
क्षेत्रफल: समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण: M_O = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन: V = |a·(b × c)|

विधि

हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

ट्रस: जोड़ विधि

संधि विधि: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
खंड विधि: ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल: धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन

विधि

पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣF_x = 0 तथा ΣF_y = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।

फ़्रेम और मशीनें

हर अवयव का संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
द्वि-बल अवयव: इसके दोनों पिनों से गुज़रने वाली रेखा के अनुदिश बल
पिन बल: जोड़े गए दोनों अवयवों पर समान और विपरीत
पिन बल का परिमाण: F = √(F_x² + F_y²)
उत्तोलक, प्लायर, बेल क्रैंक: F_in·a = F_out·b
टॉगल: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में

विधि

पूरी संरचना बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयव पहचानें: केवल दो पिनों पर भारित, उनका बल दोनों पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगता है।
फ़्रेम को अलग-अलग करें और हर अवयव को अकेले बनाएँ, जहाँ अवयव मिलते हैं वहाँ समान और विपरीत पिन बल रखें।
हर अवयव के लिए किसी ऐसे पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, फिर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0 उपयोग करें; अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2अभ्यास प्रश्न

1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम

एक स्थिर बल F = (10, 20, 10) N किसी वस्तु पर कार्य करता है जब वह बिंदु A(3, −3, −3) से बिंदु B(4, −5, 3) तक सीधी रेखा में चलती है। निर्देशांक मीटर में हैं। बल द्वारा किया गया कार्य W ज्ञात कीजिए।

F = (10, 20, 10) NA(3, −3, −3) mB(4, −5, 3) m

W = J

2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन

एक बल F = (50, −30, −60) N बिंदु A(1, 4, −4) पर कार्य करता है। निर्देशांक मीटर में हैं। बिंदु O(3, 3, −2) के परितः बल के आघूर्ण का परिमाण |M| ज्ञात कीजिए।

F = (50, −30, −60) NA(1, 4, −4) mO(3, 3, −2) m

|M| = N·m

3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। यह A से 3 m पर बिंदु भार P और A से 2.5 m पर एक वामावर्त बलयुग्म M वहन करता है। ऊपर की ओर को धनात्मक लेते हुए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP = 50 kN पर 3 mM = 60 kN·m (वामावर्त) पर 2.5 m

R_A = kN

4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP = 30 kN पर 5 mw = 10 kN/m, 3 से 7 m तक

R_A = kN

5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम

जोड़ विधि से अवयव BC में बल F_BC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 8 mऊँचाई = 3 mB, A से 5 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 45 kN

F_BC = kN

6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन

जोड़ विधि से अवयव AC में बल F_AC ज्ञात कीजिए। तनाव को धनात्मक और संपीडन को ऋणात्मक दें।

विस्तार = 8 mऊँचाई = 4 mB, A से 7 m पर हैऊर्ध्वाधर भार = 55 kNक्षैतिज भार = 30 kN →

F_AC = kN

7.फ़्रेम और मशीनेंमध्यम

दिखाया गया बेल क्रैंक पिन O के परितः घूमता है। A पर (120 mm पर O से) 300 N का ऊर्ध्वाधर बल B पर (100 mm O से ऊपर) क्षैतिज बल से संतुलित है। पिन प्रतिक्रिया F_O का परिमाण ज्ञात कीजिए।

F = 300 NOA = 120 mmOB = 100 mm

F_O = N

8.फ़्रेम और मशीनेंकठिन

एक टॉगल प्रेस में दो बराबर कड़ियाँ AB और BC हैं, हर एक पिनों के बीच 150 mm लंबी। जोड़ B रेखा AC से 15 mm ऊपर है। B पर कौन-सा नीचे की ओर बल F स्लाइडर C पर 2000 N का क्षैतिज दबाव बल उत्पन्न करता है? घर्षण और भारों की उपेक्षा करें।

Q = 2000 NAB = BC = 150 mmh = 15 mm

F = N

9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 0.5 m पर खंड में अपरूपण बल V_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 5 mw = 12 kN/m, 0 से 5 m तकx = 0.5 m

V_x = kN

10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 1 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 5 mP = 40 kN पर 1 mw = 10 kN/m, 0 से 5 m तकx = 1 m

M_x = kN·m

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक सममित I-खंड के फ़्लेंज 200 mm चौड़े और 10 mm मोटे हैं, कुल गहराई 440 mm है और वेब 8 mm मोटा है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष x के परितः बंकन के लिए उसका प्रत्यास्थ खंड मापांक S_x ज्ञात कीजिए।

B = 200 mmH = 440 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 5 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_नीचे ज्ञात कीजिए।

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmM = 5 kN·m

σ_नीचे = MPa

3विलयन

1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: W = 30 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

विस्थापन

d = B − A = (4, −5, 3) − (3, −3, −3) = (1, −2, 6) m

कार्य

W = F·d = 10·1 + 20·(−2) + 10·6 = 30 J

उत्तर

W = 30 J

2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: |M| = 250.8 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

O से A तक स्थिति सदिश

r = A − O = (1, 4, −4) − (3, 3, −2) = (−2, 1, −2) m

आघूर्ण M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·(−60) − (−2)·(−30) = −120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·50 − (−2)·(−60) = −220 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·(−30) − 1·50 = 10 N·m

परिमाण

|M| = √((−120)² + (−220)² + 10²) = 250.8 N·m

उत्तर

|M| = 250.8 N·m

3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 27.5 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।

A के परितः आघूर्ण

वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: R_B·4 − 50·3 + 60 = 0

R_B = 90/4 = 22.5 kN

ऊर्ध्वाधर संतुलन

R_A = 50 − 22.5 = 27.5 kN

उत्तर

R_A = 27.5 kN

ऋणात्मक प्रतिक्रिया नीचे की ओर कार्य करती है।

4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 35 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·5 + 10·4·5

R_B = 350/10 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 35 = 35 kN

उत्तर

R_A = 35 kN

5.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_BC = −39.77 kN

जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣF_x = 0 और ΣF_y = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·5 → C_y = 28.13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 28.13 = 16.88 kN

जोड़ C

रोलर केवल ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है, इसलिए जोड़ C पर केवल दो अज्ञात अवयव बल हैं। दोनों को तनाव में मानें।

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28.13/0.7071 = −39.77 kN

उत्तर

F_BC = −39.77 kN (संपीडन)

6.ट्रस: जोड़ विधि

उत्तर: F_AC = 15.78 kN

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·7 + 30·4 → C_y = 63.13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 63.13 = −8.125 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

जोड़ C

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −63.13/0.9701 = −65.07 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−65.07)·0.2425 = 15.78 kN

उत्तर

F_AC = 15.78 kN (तनाव)

7.फ़्रेम और मशीनें

उत्तर: F_O = 468.6 N

मशीनें: प्लायर, उत्तोलक, लिंकेज और क्लैंप निवेश बल को बड़े या भिन्न दिशा वाले निर्गत बल में बदलते हैं। एक भाग को मुक्त पिंड के रूप में बनाएँ और उसके धुराग्र के परितः आघूर्ण लें: पिन बल हट जाता है, और F_in·a = F_out·b से यांत्रिक लाभ a/b मिलता है। फिर पिन बल उसी भाग पर ΣF = 0 से मिलता है। टॉगल में दो कड़ियाँ उथले कोण θ पर मिलती हैं; हर कड़ी द्वि-बल अवयव है, इसलिए जोड़ पर छोटा बल F कड़ियों में बड़े बल F/(2 sin θ) और जकड़ने वाले बल F/(2 tan θ) को जन्म देता है।

B पर बल

Q = 300·120/100 = 360 N

पिन प्रतिक्रिया

O_x = 360 N, O_y = 300 N

F_O = √(360² + 300²) = 468.6 N

उत्तर

F_O = 468.6 N

8.फ़्रेम और मशीनें

उत्तर: F = 402 N

कड़ी का कोण

sin θ = 15/150 = 0.1, θ = 5.739°

कड़ी का बल

F_link = Q/cos θ = 2010 N

B पर बल

F = 2·F_link·sin θ = 2·2000·tan θ = 402 N

उत्तर

F = 402 N

9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: V_x = 24 kN

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2.5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

x = 0.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

V = R_A − (कट के बाईं ओर सभी नीचे की ओर भार)

V_x = 30 − 12·0.5 = 24 kN

उत्तर

V_x = 24 kN

10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 52 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·1 + 10·5·2.5

R_B = 165/5 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 33 = 57 kN

x = 1 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 57·1 − 10·1·0.5 = 52 kN·m

उत्तर

M_x = 52 kN·m

11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: S_x = 1065 × 10³ mm³

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = I_c + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है।

बाहरी आयत में से दोनों पार्श्व कटाव घटाकर

दोनों कटाव मिलकर (B − t_w) चौड़े और h_w = H − 2t_f ऊँचे हैं, और उनकी अक्ष x एक ही है।

h_w = 440 − 2·10 = 420 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·440³ − 192·420³)/12

I_x = 2.343 × 10⁸ mm⁴

खंड मापांक

c = H/2 = 220 mm

S_x = I/c = 2.343 × 10⁸/220

S_x = 1.065 × 10⁶ mm³ = 1065 × 10³ mm³

उत्तर

S_x = 1065 × 10³ mm³

12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_नीचे = 40.25 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

वेब: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·170 + 2240·80)/7840 = 144.3 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 280·20³/12 + 5600·(170 − 144.3)² = 3.89 × 10⁶ mm⁴

वेब: 14·160³/12 + 2240·(80 − 144.3)² = 1.404 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.89 × 10⁶ + 1.404 × 10⁷ = 1.793 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 144.3 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·144.3/1.793 × 10⁷ = 40.25 MPa

उत्तर

σ_नीचे = 40.25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics