दिखाए गए टॉगल क्लैंप में दो बराबर कड़ियाँ AB और BC, B पर पिन से जुड़ी हैं, और हर एक रेखा AC से 8° बनाती है। B पर 100 N का नीचे की ओर बल लगाया जाता है। स्लाइडर C कार्य-खंड को दबाता है। घर्षण और भारों की उपेक्षा करते हुए क्षैतिज जकड़ने वाला बल Q ज्ञात कीजिए।
F = 100 Nθ = 8°
Q = N
8.फ़्रेम और मशीनेंकठिन
दिखाया गया A-फ़्रेम A पर पिन और B पर रोलर पर खड़ा है, जो 4 m दूर हैं, इसका शीर्ष पिन C 2.5 m ऊँचा है और क्षैतिज टाई DE भूमि से 0.6 m ऊपर है। पाए AC पर K पर, जो A से 0.8 m (क्षैतिज) दूर है, 15 kN का ऊर्ध्वाधर भार लगता है। पिन C का पाए BC पर लगाए गए बल C का परिमाण ज्ञात कीजिए।
P = 15 kNAB = 4 mC की ऊँचाई = 2.5 mDE की ऊँचाई = 0.6 mA से K तक क्षैतिज दूरी = 0.8 m
C = kN
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।
35 kN @ 2 m50 kN @ 1 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
आलंब A से x = 2.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।
L = 8 mP = 40 kN पर 1 mw = 6 kN/m, 0 से 8 m तकx = 2.5 m
Mx = kN·m
11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
bf = 140 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
एक ढलवाँ लोहे के बीम का T-खंड चित्र जैसा है, फ़्लेंज ऊपर। स्वीकार्य प्रतिबल तनाव में 60 MPa और संपीडन में 90 MPa हैं। बीम द्वारा वहन किया जा सकने वाला सबसे बड़ा हॉगिंग बंकन आघूर्ण Mallow ज्ञात कीजिए (उसका परिमाण दें)।
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
अदिश गुणनफल
a·b = 1·(−4) + 6·(−5) + 6·4 = −10
परिमाण
|a| = √(1² + 6² + 6²) = 8.544
|b| = √((−4)² + (−5)² + 4²) = 7.55
कोण
cos θ = −10/(8.544·7.55) = −0.155
θ = arccos(−0.155) = 98.92°
उत्तर
θ = 98.92°
2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल
उत्तर: V = 59
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
सदिश गुणनफल b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−4)·(−5) − 5·(−2) = 30
(b × c)y = bzcx − bxcz = 5·2 − (−3)·(−5) = −5
(b × c)z = bxcy − bycx = (−3)·(−2) − (−4)·2 = 14
a के साथ अदिश गुणनफल
a·(b × c) = (−3)·30 + 5·(−5) + 4·14 = −59
V = |−59| = 59
उत्तर
V = 59
3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
उत्तर: RA = 42.5 kN
स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।
मुक्त-पिंड आरेख
आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।
संतुलन
A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1 + 50·1.5
RB = 90/4 = 22.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 22.5 = 42.5 kN
उत्तर
RA = 42.5 kN
4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
उत्तर: RA = 14.7 kN
स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।
मुक्त-पिंड आरेख
आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।
संतुलन
A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, x̄ = 9 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·10 = 15·1 + 6·2·9
RB = 123/10 = 12.3 kN
ΣFy = 0: RA = 27 − 12.3 = 14.7 kN
उत्तर
RA = 14.7 kN
5.ट्रस: जोड़ विधि
उत्तर: FAB = −10.94 kN
जोड़ विधि: ट्रस का हर जोड़ संतुलन में है, इसलिए हर जोड़ पर ΣFx = 0 और ΣFy = 0। उस जोड़ से शुरू करें जहाँ अधिकतम दो अज्ञात अवयव बल हों। ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि अवयव संपीडन में है।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे ट्रस का संतुलन। A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक।
ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 → Cy = 26.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 26.25 = 8.75 kN
जोड़ A
मानें कि हर अवयव तनाव में है (जोड़ से दूर खींचता है)। A पर केवल AB का ऊर्ध्वाधर घटक है।
sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8.75/0.8 = −10.94 kN
उत्तर
FAB = −10.94 kN (संपीडन)
6.ट्रस: जोड़ विधि
उत्तर: सदस्य CG
शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।
संधि C
BC और CD एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल CG बचता है।
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
संधि विधि से जाँचें
सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।
मशीनें: प्लायर, उत्तोलक, लिंकेज और क्लैंप निवेश बल को बड़े या भिन्न दिशा वाले निर्गत बल में बदलते हैं। एक भाग को मुक्त पिंड के रूप में बनाएँ और उसके धुराग्र के परितः आघूर्ण लें: पिन बल हट जाता है, और Fin·a = Fout·b से यांत्रिक लाभ a/b मिलता है। फिर पिन बल उसी भाग पर ΣF = 0 से मिलता है। टॉगल में दो कड़ियाँ उथले कोण θ पर मिलती हैं; हर कड़ी द्वि-बल अवयव है, इसलिए जोड़ पर छोटा बल F कड़ियों में बड़े बल F/(2 sin θ) और जकड़ने वाले बल F/(2 tan θ) को जन्म देता है।
पिन B का संतुलन
2·Flink·sin 8° = 100
Flink = 359.3 N
जकड़ने वाला बल
Q = Flink·cos 8° = 100/(2·tan 8°) = 355.8 N
उत्तर
Q = 355.8 N
बल अनुपात Q/F = 3.558 कड़ियों के सीधे होने पर असीमित रूप से बढ़ता है।
8.फ़्रेम और मशीनें
उत्तर: C = 4.356 kN
फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।
B पर आलंब प्रतिक्रिया
By = 15·0.8/4 = 3 kN
टाई बल
T = 3·2/1.9 = 3.158 kN
BC पर पिन बल
Cx = 3.158 kN, Cy = −3 kN
C = √(3.158² + 3²) = 4.356 kN
उत्तर
C = 4.356 kN
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: C (x = 2 m)
सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।
R1 = 65 kN, R2 = 20 kN
हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण
कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।
MA = 0, MB = 65, MC = 80 kN·m, MD = 60, ME = 40, MF = 20, MG = 0
उत्तर
चिह्न C: MC = 80 kN·m
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mx = 68.75 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·8 = 40·1 + 6·8·4
RB = 232/8 = 29 kN
ΣFy = 0: RA = 88 − 29 = 59 kN
x = 2.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें
केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।
M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 140·25 = 3500 mm², yf = 200 + 25/2 = 212.5 mm
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।