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1सूत्र और विधियाँ
सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल
परिमाण
|a| = √(ax² + ay² + az²)
इकाई सदिश
û = a/|a|
कोण से घटक
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
अदिश गुणनफल
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप
a·b/|b|
कार्य
W = F·d
सदिश गुणनफल
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
क्षेत्रफल
समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण
MO = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन
V = |a·(b × c)|
विधि
हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।
बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण
M = F·d
विधि
मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣFy = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।
ट्रस: जोड़ विधि
संधि विधि
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
खंड विधि
ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल
धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन
विधि
पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।
फ़्रेम और मशीनें
हर अवयव का संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
द्वि-बल अवयव
इसके दोनों पिनों से गुज़रने वाली रेखा के अनुदिश बल
पिन बल
जोड़े गए दोनों अवयवों पर समान और विपरीत
पिन बल का परिमाण
F = √(Fx² + Fy²)
उत्तोलक, प्लायर, बेल क्रैंक
Fin·a = Fout·b
टॉगल
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
विधि
पूरी संरचना बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयव पहचानें: केवल दो पिनों पर भारित, उनका बल दोनों पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगता है।
फ़्रेम को अलग-अलग करें और हर अवयव को अकेले बनाएँ, जहाँ अवयव मिलते हैं वहाँ समान और विपरीत पिन बल रखें।
हर अवयव के लिए किसी ऐसे पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, फिर ΣFx = 0 और ΣFy = 0 उपयोग करें; अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8
विधि
पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2अभ्यास प्रश्न
1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम
k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए सदिश a = (1, −3, 0) और b = (−3, k, −4) लंबवत हैं।
a = (1, −3, 0)b = (−3, k, −4)
k =
2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन
उस समांतर षट्फलक का आयतन V ज्ञात कीजिए जिसकी एक कोने से भुजाएँ a = (1, 3, −1), b = (0, 1, −5) और c = (2, −5, 5) हैं।
a = (1, 3, −1)b = (0, 1, −5)c = (2, −5, 5)
V =
3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम
सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया RB ज्ञात कीजिए।
L = 4 mP1 = 10 kN पर 2.5 mP2 = 25 kN पर 3 m
RB = kN
4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन
एक संयुक्त बीम A पर दीवार में स्थिर है, C पर (A से 3 m) एक आंतरिक कब्ज़ा (हिंज) है और D पर (A से 8 m) रोलर पर टिका है। यह A से 6 m पर बिंदु भार P, पूरे भाग CD पर समान वितरित भार w और A से 1 m पर बिंदु भार Q वहन करता है। रोलर पर प्रतिक्रिया RD ज्ञात कीजिए।
AC = 3 mAD = 8 mP = 80 kN पर 6 mw = 2 kN/m, 3 से 8 m तकQ = 60 kN पर 1 m
RD = kN
5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम
इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।
B: 30 kN ↓D: 25 kN ↓
1सदस्य AB
2सदस्य BC
3सदस्य CD
4सदस्य DE
5सदस्य FG
6सदस्य GH
7सदस्य AF
8सदस्य HE
9सदस्य BF
10सदस्य CG
11सदस्य DH
12सदस्य FC
13सदस्य HC
6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन
इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।
B: 35 kN ↓D: 30 kN ↓H: 35 kN ←
1सदस्य AB
2सदस्य BC
3सदस्य CD
4सदस्य DE
5सदस्य FG
6सदस्य GH
7सदस्य AF
8सदस्य HE
9सदस्य BF
10सदस्य CG
11सदस्य DH
12सदस्य BG
13सदस्य DG
7.फ़्रेम और मशीनेंमध्यम
दिखाया गया A-फ़्रेम A पर पिन और B पर रोलर पर खड़ा है, जो 2 m दूर हैं, इसका शीर्ष पिन C 4 m ऊँचा है और क्षैतिज टाई DE भूमि से 1.8 m ऊपर है। पाए AC पर K पर, जो A से 0.25 m (क्षैतिज) दूर है, 2 kN का ऊर्ध्वाधर भार लगता है। टाई में तनाव T ज्ञात कीजिए।
P = 2 kNAB = 2 mC की ऊँचाई = 4 mDE की ऊँचाई = 1.8 mA से K तक क्षैतिज दूरी = 0.25 m
T = kN
8.फ़्रेम और मशीनेंकठिन
दिखाए गए फ़्रेम में A, B और C पर पिन हैं; A और C भूमि में 3 m दूर जड़े हैं, और B 3 m ऊँचा तथा A के 0.45 m दाईं ओर है। अवयव AB पर K पर, जो A से 0.18 m (क्षैतिज) दूर है, 5 kN का ऊर्ध्वाधर भार है, और अवयव AB पर B पर दाईं ओर 6 kN का क्षैतिज भार लगता है। A पर क्षैतिज प्रतिक्रिया Ax का परिमाण ज्ञात कीजिए।
P = 5 kNQ = 6 kNL = 3 mH = 3 mA से B तक क्षैतिज दूरी = 0.45 mA से K तक क्षैतिज दूरी = 0.18 m
Ax = kN
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
कैंटिलीवर A पर स्थिर है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और A से 2 m पर बिंदु भार P वहन करता है। स्थिर आलंब A पर बंकन आघूर्ण MA ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।
L = 4 mP = 35 kN पर 2 mw = 4 kN/m, 0 से 4 m तक
MA = kN·m
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 1.5 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंब B पर बंकन आघूर्ण MB ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।
L = 7.5 mw = 4 kN/m, 0 से 7.5 m तकआलंब x = 0 और x = 6 m पर
MB = kN·m
11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
एक सममित I-खंड के फ़्लेंज 140 mm चौड़े और 14 mm मोटे हैं, कुल गहराई 200 mm है और वेब 10 mm मोटा है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
B = 140 mmH = 200 mmtf = 14 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
100 mm × 300 mm की एक प्लेट में 30 mm चौड़ा और 20 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 195 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 100 mmh = 300 mmकटाव: 30 × 20 mmछिद्र का केंद्र: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3विलयन
1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल
उत्तर: k = −1
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
अदिश गुणनफल शून्य के बराबर
a·b = 1·(−3) + (−3)·k + 0·(−4) = 0
−3 + (−3)·k = 0
k के लिए हल करें
k = −(−3)/(−3) = −1
उत्तर
k = −1
2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल
उत्तर: V = 48
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
सदिश गुणनफल b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 1·5 − (−5)·(−5) = −20
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−5)·2 − 0·5 = −10
(b × c)z = bxcy − bycx = 0·(−5) − 1·2 = −2
a के साथ अदिश गुणनफल
a·(b × c) = 1·(−20) + 3·(−10) + (−1)·(−2) = −48
V = |−48| = 48
उत्तर
V = 48
3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
उत्तर: RB = 25 kN
स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।
मुक्त-पिंड आरेख
आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।
संतुलन
A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।
ΣMA = 0: RB·4 = 10·2.5 + 25·3
RB = 100/4 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 25 = 10 kN
उत्तर
RB = 25 kN
4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
उत्तर: RD = 53 kN
स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए। आंतरिक कब्ज़ा बंकन आघूर्ण वहन नहीं कर सकता, जिससे एक अतिरिक्त समीकरण मिलता है: किसी भी ओर के बलों का कब्ज़े के परितः आघूर्ण शून्य है।
भाग CD
कब्ज़े पर कोई आघूर्ण नहीं है, इसलिए केवल CD पर C के परितः आघूर्ण संतुलित होने चाहिए।
W = 2·5 = 10 kN पर 2.5 m से C
ΣMC = 0: RD·5 = 80·3 + 10·2.5
RD = 53 kN
VC = 90 − 53 = 37 kN
उत्तर
RD = 53 kN
5.ट्रस: जोड़ विधि
उत्तर: सदस्य CG
शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।
संधि G
FG और GH एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल CG बचता है।
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
संधि विधि से जाँचें
सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।
शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।
संधि C
BC और CD एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल CG बचता है।
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
संधि विधि से जाँचें
सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।
फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।
पूरा फ़्रेम: A के परितः आघूर्ण
By = 2·0.25/2 = 0.25 kN
पाया BC: C के परितः आघूर्ण
0.25·1 = T·2.2
T = 0.1136 kN
उत्तर
T = 0.1136 kN
8.फ़्रेम और मशीनें
उत्तर: Ax = 0.645 kN
फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।
BC की दिशा
BC = 3.937 m, cos = 0.6476, sin = 0.7619
पूरा फ़्रेम: A के परितः आघूर्ण
FBC·0.7619·3 = 5·0.18 + 6·3
FBC = 8.268 kN
क्षैतिज संतुलन
Ax + 6 − 8.268·0.6476 = 0
Ax = −0.645 kN → |Ax| = 0.645 kN
उत्तर
Ax = 0.645 kN
ऋण चिह्न का अर्थ है कि Ax बाईं ओर है।
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: MA = −102 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
मुक्त-सिरे वाला भाग रखें
P: −35·2 = −70 kN·m
w: −4·4²/2 = −32 kN·m
MA = −70 − 32 = −102 kN·m
उत्तर
MA = −102 kN·m
ऋणात्मक का अर्थ है हॉगिंग: ऊपरी फलक पर तनाव।
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: MB = −4.5 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 4·7.5 = 30 kN, x̄ = 3.75 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 4·7.5·3.75
RB = 112.5/6 = 18.75 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 18.75 = 11.25 kN
B पर काटें और ओवरहैंग रखें
ओवरहैंग पर भार w·a, B से a/2 पर कार्य करता है और बीम को आलंब के ऊपर हॉग कराता है।
MB = −w·a²/2 = −4·1.5²/2 = −4.5 kN·m
उत्तर
MB = −4.5 kN·m
11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 38.21 × 10⁶ mm⁴
क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = Ic + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है।
बाहरी आयत में से दोनों पार्श्व कटाव घटाकर
दोनों कटाव मिलकर (B − tw) चौड़े और hw = H − 2tf ऊँचे हैं, और उनकी अक्ष x एक ही है।
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (30000·150 − 600·195)/(30000 − 600) = 149.1 mm