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1सूत्र और विधियाँ
सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल
परिमाण
|a| = √(ax² + ay² + az²)
इकाई सदिश
û = a/|a|
कोण से घटक
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
अदिश गुणनफल
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप
a·b/|b|
कार्य
W = F·d
सदिश गुणनफल
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
क्षेत्रफल
समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण
MO = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन
V = |a·(b × c)|
विधि
हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।
बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण
M = F·d
विधि
मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣFy = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।
ट्रस: जोड़ विधि
संधि विधि
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
खंड विधि
ΣM = 0 about a cut point
अवयव बल
धनात्मक = तनाव, ऋणात्मक = संपीडन
विधि
पूरे ट्रस की आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
संधि विधि: ऐसी संधि से शुरू करें जिस पर अधिकतम दो अज्ञात सदस्य बल हों, और ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0 का उपयोग करें।
खंड विधि: आवश्यक सदस्य से होकर काटें और उस बिंदु के परितः आघूर्ण लें जहाँ अन्य अज्ञात सदस्य मिलते हैं।
तनाव मानें; ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है संपीडन।
फ़्रेम और मशीनें
हर अवयव का संतुलन
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
द्वि-बल अवयव
इसके दोनों पिनों से गुज़रने वाली रेखा के अनुदिश बल
पिन बल
जोड़े गए दोनों अवयवों पर समान और विपरीत
पिन बल का परिमाण
F = √(Fx² + Fy²)
उत्तोलक, प्लायर, बेल क्रैंक
Fin·a = Fout·b
टॉगल
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
एकसमान भार
परिणामी w·L भार के मध्य में
विधि
पूरी संरचना बनाएँ और, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
द्वि-बल अवयव पहचानें: केवल दो पिनों पर भारित, उनका बल दोनों पिनों के बीच की रेखा के अनुदिश लगता है।
फ़्रेम को अलग-अलग करें और हर अवयव को अकेले बनाएँ, जहाँ अवयव मिलते हैं वहाँ समान और विपरीत पिन बल रखें।
हर अवयव के लिए किसी ऐसे पिन के परितः आघूर्ण लें जहाँ अज्ञात बल लगते हैं, फिर ΣFx = 0 और ΣFy = 0 उपयोग करें; अंत में घटकों को मिलाकर परिमाण निकालें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8
विधि
पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2अभ्यास प्रश्न
1.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम
सदिशों a = (−3, −2, −6) और b = (3, −5, −5) के बीच का कोण θ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
a = (−3, −2, −6)b = (3, −5, −5)
θ = °
2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन
इकाई सदिश n̂, a = (−5, 2, −1) और b = (3, −1, −2) दोनों के लंबवत है और उसका z-घटक धनात्मक है। इसका x-घटक n̂x ज्ञात कीजिए।
a = (−5, 2, −1)b = (3, −1, −2)n̂z > 0
n̂x =
3.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम
सरल आलंबित बीम (A पर पिन, B पर रोलर) एक रैखिक रूप से बदलता भार वहन करता है जो A पर 15 kN/m से B पर शून्य तक घटता है। A से 3 m पर एक बिंदु भार P भी कार्य करता है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया RA ज्ञात कीजिए।
L = 4 mw0 = 15 kN/mP = 20 kN पर 3 m
RA = kN
4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन
सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया RB ज्ञात कीजिए।
L = 10 mP = 20 kN पर 4 mw = 2 kN/m, 1 से 6 m तक
RB = kN
5.ट्रस: जोड़ विधिमध्यम
इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।
B: 15 kN ↓C: 35 kN ↓G: 10 kN ↓
1सदस्य AB
2सदस्य BC
3सदस्य CD
4सदस्य DE
5सदस्य FG
6सदस्य GH
7सदस्य AF
8सदस्य HE
9सदस्य BF
10सदस्य CG
11सदस्य DH
12सदस्य FC
13सदस्य HC
6.ट्रस: जोड़ विधिकठिन
इस ट्रस का ठीक एक सदस्य इन भारों के अंतर्गत कोई बल वहन नहीं करता। शून्य-बल सदस्य कौन-सा है? उसे आरेख में क्लिक करें।
एक क्षैतिज कड़ी AB दीवार में A पर पिन से जुड़ी है और स्ट्रट CD से टिकी है, जो दीवार में A से 0.8 m नीचे C पर पिन से जुड़ा है। B पर 3 kN का भार लटका है। भारों की उपेक्षा करें। A पर कड़ी पर पिन बल A का परिमाण ज्ञात कीजिए।
P = 3 kNAD = 1.6 mAB = 2 mAC = 0.8 m
A = kN
8.फ़्रेम और मशीनेंकठिन
0.5 kN भार की एक एकसमान क्षैतिज बूम AB दीवार में A पर पिन से जुड़ी है और B से दीवार पर बिंदु C तक एक केबल से थमी है, जो A से 2 m ऊपर है। B पर 10 kN का भार लटका है। पिन प्रतिक्रिया A का परिमाण ज्ञात कीजिए।
W = 10 kNWb = 0.5 kNAB = 4 mAC = 2 m
A = kN
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह आलंबों के बीच बिंदु भार P1 और C पर बिंदु भार P2 वहन करता है। आलंब B के ठीक बाईं ओर अपरूपण बल Vx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।
L = 8 mP1 = 80 kN पर 3.5 mP2 = 50 kN पर 8 mआलंब x = 0 और x = 6 m पर
Vx = kN
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
आलंब A से x = 1 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।
L = 5 mP = 15 kN पर 3.5 mw = 4 kN/m, 0 से 5 m तकx = 1 m
Mx = kN·m
11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
एक सममित I-खंड के फ़्लेंज 130 mm चौड़े और 20 mm मोटे हैं, कुल गहराई 380 mm है और वेब 6 mm मोटा है। यह अक्ष x के परितः 100 kN·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। वेब और ऊपरी फ़्लेंज के जोड़ पर बंकन प्रतिबल σj का परिमाण ज्ञात कीजिए।
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
अदिश गुणनफल
a·b = (−3)·3 + (−2)·(−5) + (−6)·(−5) = 31
परिमाण
|a| = √((−3)² + (−2)² + (−6)²) = 7
|b| = √(3² + (−5)² + (−5)²) = 7.681
कोण
cos θ = 31/(7·7.681) = 0.5766
θ = arccos(0.5766) = 54.79°
उत्तर
θ = 54.79°
2.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल
उत्तर: n̂x = 0.3581
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
सदिश गुणनफल
(a × b)x = aybz − azby = 2·(−2) − (−1)·(−1) = −5
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·3 − (−5)·(−2) = −13
(a × b)z = axby − aybx = (−5)·(−1) − 2·3 = −1
इकाई रूप में लाएँ
a × b का z-घटक ऋणात्मक है, इसलिए −(a × b) का उपयोग करें।
स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।
त्रिभुजाकार भार का परिणामी
W = ½·15·4 = 30 kN
x̄ = L/3 = 1.333 m
संतुलन
A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1.333 + 20·3
RB = 25 kN
RA = 50 − 25 = 25 kN
उत्तर
RA = 25 kN
4.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ
उत्तर: RB = 11.5 kN
स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।
मुक्त-पिंड आरेख
आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।
संतुलन
A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, x̄ = 3.5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·10 = 20·4 + 2·5·3.5
RB = 115/10 = 11.5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 11.5 = 18.5 kN
उत्तर
RB = 11.5 kN
5.ट्रस: जोड़ विधि
उत्तर: सदस्य DH
शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।
संधि D
CD और DE एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल DH बचता है।
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
संधि विधि से जाँचें
सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।
शून्य-बल सदस्य: किसी संधि पर बल हर दिशा में संतुलित होने चाहिए। यदि संधि पर कोई भार और आधार नहीं है, और उसके तीन सदस्यों में से दो एक सीध में हैं, तो उस रेखा के आर-पार का संतुलन केवल तीसरे सदस्य को शामिल करता है, इसलिए उसका बल शून्य है। यदि भाररहित संधि पर केवल दो सदस्य मिलते हैं और वे एक सीध में नहीं हैं, तो दोनों शून्य हैं।
संधि G
FG और GH एक सीधी रेखा में हैं और संधि पर कोई भार नहीं है। उस रेखा के आर-पार बलों को संतुलित करने पर केवल CG बचता है।
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
संधि विधि से जाँचें
सभी संधियाँ हल करने पर ये सदस्य बल मिलते हैं (T = तनाव, C = संपीड़न)।
फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।
स्ट्रट बल
FCD = 3·2/(0.4472·1.6) = 8.385 kN
A पर घटक
Ax = FCD·cos α = 7.5 kN (दीवार की ओर)
Ay = 3 − FCD·sin α = −0.75 kN
परिमाण
A = √(7.5² + −0.75²) = 7.537 kN
उत्तर
A = 7.537 kN
ऋणात्मक Ay का अर्थ है कि दीवार A पर कड़ी को नीचे खींचती है।
8.फ़्रेम और मशीनें
उत्तर: A = 20.5 kN
फ़्रेम और मशीनें: ट्रस के विपरीत, फ़्रेम में कम से कम एक अवयव दो से अधिक बिंदुओं पर बल वहन करता है, या उसके पिनों के बीच भार होता है। पहले द्वि-बल अवयव खोजें: केवल दो पिनों पर भारित अवयव का बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है, इसलिए वह दो नहीं, एक अज्ञात जोड़ता है। फिर, यदि अज्ञात तीन से अधिक न हों, तो आलंब प्रतिक्रियाओं के लिए पूरी संरचना उपयोग करें। अंत में फ़्रेम को अलग करें: हर अवयव अलग बनाएँ, जहाँ दो अवयव जुड़ते हैं वहाँ पिन बल समान और विपरीत रखें, और उसके लिए ΣFx = 0, ΣFy = 0 और ΣM = 0 लिखें। किसी पिन के परितः आघूर्ण लेने से समीकरण से उस पिन बल के दोनों घटक हट जाते हैं।
केबल का तनाव
T = (10 + 0.5/2)/0.4472 = 22.92 kN
A पर घटक
Ax = T·cos β = 20.5 kN
Ay = 10 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN
परिमाण
A = √(20.5² + 0.25²) = 20.5 kN
उत्तर
A = 20.5 kN
9.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Vx = −63.33 kN
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन। ओवरहैंग का भार भी A के परितः कार्य करता है।
ΣMA = 0: RB·6 = 80·3.5 + 50·8
RB = 680/6 = 113.3 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 113.3 = 16.67 kN
B के ठीक बाईं ओर काटें और बायाँ भाग रखें
Vx = RA − P1 = 16.67 − 80 = −63.33 kN
उत्तर
Vx = −63.33 kN
10.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mx = 12.5 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·5 = 15·3.5 + 4·5·2.5
RB = 102.5/5 = 20.5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 20.5 = 14.5 kN
x = 1 m पर काटें और बायाँ भाग रखें
केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।
M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 14.5·1 − 4·1·0.5 = 12.5 kN·m
उत्तर
Mx = 12.5 kN·m
11.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 19.78 × 10⁶ mm⁴
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 180 + 15/2 = 187.5 mm
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
बाहरी आयत में से दोनों पार्श्व कटाव घटाकर
दोनों कटाव मिलकर (B − tw) चौड़े और hw = H − 2tf ऊँचे हैं, और उनकी अक्ष x एक ही है।