सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 57, 29, 13, 31, 27, 29, 17।

n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 42.5 से कम है?

μ = 50σ = 5x = 42.5
P =
3.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.2510.0520.3530.35μ = 1.8

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.05, 0.35, 0.35
σ =
4.प्रायिकताकठिन
€p(x)−10.7830.2190.02

एक खेल खेलने का मूल्य €1 है। आप प्रायिकता 0.2 से €4 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €20; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €1€4: p = 0.2€20: p = 0.02
E(G) = €
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.0136

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0136 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.0136
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 32x = ?80%

डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 80% आते हैं (80वाँ शततमक)।

μ = 32σ = 6P = 80%
x = min
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 7, s = 10.5LUx̄ = 56E = ?95%

7 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 56 और मानक विचलन s = 10.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 7x̄ = 56s = 10.595%t(6) = 2.447
E =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

समष्टि मानक विचलन 8 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो?

σ = 8E = 2.595%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.1792.179t = ?df = 12

13 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −2.02 और अंतरों का मानक विचलन 2.6 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 13d̄ = −2.02sd = 2.6
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0.01βσ = 11, शक्ति 80%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 3 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 11 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 80%δ = 3σ = 11zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy144362565783988xy56080

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 25Σy = 342Σx² = 165Σy² = 24638Σxy = 1928
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy236334447549654756xy2464050ŷ = 47

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 47 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 47
x =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.09

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 203/7 = 29

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 28² + 0² + (−16)² + 2² + (−2)² + 0² + (−12)² = 1192

मानक विचलन

s = √(1192/6) = 14.09

उत्तर

s = 14.09
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.06681

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681

उत्तर

P = 0.06681
3.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.166

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.25 + 1·0.05 + 2·0.35 + 3·0.35 = 1.8

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.05 + 4·0.35 + 9·0.35 = 4.6

प्रसरण

Var(X) = 4.6 − 1.8² = 1.36
σ = √1.36 = 1.166

उत्तर

σ = 1.166
4.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 0.2 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 3 (p = 0.2), 19 (p = 0.02), −1 (p = 0.78)

प्रत्याशित मान

E(G) = 3·0.2 + 19·0.02 − 1·0.78 = 0.2 €

उत्तर

E(G) = 0.2 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 2.21

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.0136 = 0.9864

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9864 खोजें और z पढ़ें।

z = 2.21

उत्तर

z = 2.21
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 37.05 min

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

वापस x पर

x = 32 + 0.8416·6 = 37.05 min

उत्तर

x = 37.05 min
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 9.711

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 6, t = 2.447

त्रुटि सीमा

E = 2.447·10.5/√7 = 9.711

उत्तर

E = 9.711
8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 40

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.96·8/2.5)² = 39.34

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 40

उत्तर

n = 40
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.801

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 2.6/√13 = 0.7211

परीक्षण सांख्यिकी

t = −2.02/0.7211 = −2.801

उत्तर

t = −2.801

df = 12 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.179 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 135

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 0.842)·11/3)² = 134.9

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 135

उत्तर

n = 135
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9768

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 1928 − 25·342/5 = 218
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 24638 − 342²/5 = 1245

सहसंबंध गुणांक

r = 218/√(40·1245) = 0.9768

उत्तर

r = 0.9768
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 4.716

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 276/6 = 46

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81

समाश्रयण रेखा

b = 81/17.5 = 4.629
a = 46 − 4.629·4.5 = 25.17
ŷ = 25.17 + 4.629·x

x के लिए हल करें

x = (47 − 25.17)/4.629 = 4.716

उत्तर

x = 4.716

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