वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 38, 17, 54, 55, 34, 58, 49।
n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
परीक्षा अंक माध्य 500 और मानक विचलन 75 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 593.8 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
μ = 500σ = 75x = 593.8
z =
3.प्रायिकतामध्यम
एक थैले में 6 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?
6 / 6
P =
4.प्रायिकताकठिन
एक खेल खेलने का मूल्य €5 है। आप प्रायिकता 0.3 से €10 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €100; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।
दाँव = €5€10: p = 0.3€100: p = 0.01
E(G) = €
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.2514 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.2514
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 5% आते हैं (5वाँ शततमक)।
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
ज्ञात σ और 25 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 4.1 है। उन्हीं आँकड़ों से 99% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?
90%n₁ = 25E₁ = 4.199%
E₂ =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 33 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 4 हो?
σ = 33E = 499%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
25 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 79.8 और प्रतिदर्श मानक विचलन 20 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।
μ₀ = 75x̄ = 79.8s = 20n = 25
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
64 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 120.2 है। समष्टि मानक विचलन 5 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।
x̄ = 120.2σ = 5n = 6495%
U =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 6Σx = 42Σy = 81Σx² = 364Σy² = 1327Σxy = 694
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 15 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 5x = 15
ŷ =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 14.75
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 305/7 = 43.57
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−5.571)² + (−26.57)² + 10.43² + 11.43² + (−9.571)² + 14.43² + 5.429² = 1306
मानक विचलन
s = √(1306/6) = 14.75
उत्तर
s = 14.75
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: z = 1.25
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = (593.8 − 500)/75 = 1.25
उत्तर
z = 1.25
3.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.2273
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
पहली और दूसरी निकासी
P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0.2273
उत्तर
P = 0.2273
4.प्रायिकता
उत्तर: E(G) = −1 €
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
शुद्ध परिणाम
G: 5 (p = 0.3), 95 (p = 0.01), −5 (p = 0.69)
प्रत्याशित मान
E(G) = 5·0.3 + 95·0.01 − 5·0.69 = −1 €
उत्तर
E(G) = −1 €
ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = 0.67
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 1 − 0.2514 = 0.7486
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.7486 खोजें और z पढ़ें।
z = 0.67
उत्तर
z = 0.67
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 22.13 min
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
वापस x पर
x = 32 + −1.645·6 = 22.13 min
उत्तर
x = 22.13 min
7.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E₂ = 6.42
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
त्रुटि सीमाओं का अनुपात
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(25/25) = 1.566
नई त्रुटि सीमा
E₂ = 4.1·1.566 = 6.42
उत्तर
E₂ = 6.42
8.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 452
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (2.576·33/4)² = 451.6
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 452
उत्तर
n = 452
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 1.2
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
मानक त्रुटि
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
परीक्षण सांख्यिकी
t = (79.8 − 75)/4 = 1.2
उत्तर
t = 1.2
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: U = 121.4
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 1.96·5/√64 = 1.225
अंतराल सीमा
U = 120.2 + 1.225 = 121.4
उत्तर
U = 121.4
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9934
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
केंद्रित योग
Sxy = 694 − 42·81/6 = 127
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1327 − 81²/6 = 233.5
सहसंबंध गुणांक
r = 127/√(70·233.5) = 0.9934
उत्तर
r = 0.9934
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 42.3
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 243/5 = 48.6
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84
समाश्रयण रेखा
b = 84/40 = 2.1
a = 48.6 − 2.1·18 = 10.8
ŷ = 10.8 + 2.1·x
पूर्वानुमान
ŷ = 10.8 + 2.1·15 = 42.3
उत्तर
ŷ = 42.3
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