वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 19, 39, 36, 45, 26, 10।
n = 6
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 60 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 410 से अधिक है?
μ = 500σ = 60x = 410
P =
3.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.05, 0.3, 0.2, 0.1
σ =
4.प्रायिकताकठिन
एक खेल खेलने का मूल्य €5 है। आप प्रायिकता 0.1 से €20 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €250; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।
दाँव = €5€20: p = 0.1€250: p = 0.02
E(G) = €
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.7813 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.7813
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 20% आते हैं (20वाँ शततमक)।
μ = 500σ = 40P = 20%
x = h
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
ज्ञात σ और 100 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 5.4 है। 400 प्रेक्षणों पर आधारित 90% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?
99%n₁ = 100E₁ = 5.490%n₂ = 400
E₂ =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 14 प्लॉट, माध्य उपज 37.5 kg, मानक विचलन 8 kg। प्लॉट समूह 2: 12 प्लॉट, माध्य 47.5 kg, मानक विचलन 1.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n₁ = 14x̄₁ = 37.5s₁ = 8n₂ = 12x̄₂ = 47.5s₂ = 1.599%t(24) = 2.797
E = kg
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
6 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर −4.49 और अंतरों का मानक विचलन 10 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n = 6d̄ = −4.49sd = 10
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
16 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 73 है। समष्टि मानक विचलन 10 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।
x̄ = 73σ = 10n = 1699%
U =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 6
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 3 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 6x = 3
ŷ =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 13.23
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 175/6 = 29.17
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−10.17)² + 9.833² + 6.833² + 15.83² + (−3.167)² + (−19.17)² = 874.8
मानक विचलन
s = √(874.8/5) = 13.23
उत्तर
s = 13.23
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.9332
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = −1.5
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
उत्तर
P = 0.9332
3.प्रायिकता
उत्तर: σ = 1.388
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 0·0.35 + 1·0.05 + 2·0.3 + 3·0.2 + 4·0.1 = 1.65
वर्गों का माध्य
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.05 + 4·0.3 + 9·0.2 + 16·0.1 = 4.65
प्रसरण
Var(X) = 4.65 − 1.65² = 1.928
σ = √1.928 = 1.388
उत्तर
σ = 1.388
4.प्रायिकता
उत्तर: E(G) = 2 €
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
शुद्ध परिणाम
G: 15 (p = 0.1), 245 (p = 0.02), −5 (p = 0.88)
प्रत्याशित मान
E(G) = 15·0.1 + 245·0.02 − 5·0.88 = 2 €
उत्तर
E(G) = 2 €
धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = 1.23
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = (1 + 0.7813)/2 = 0.8907
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.8907 खोजें और z पढ़ें।
z = 1.23
उत्तर
z = 1.23
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 466.3 h
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
वापस x पर
x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h
उत्तर
x = 466.34 h
7.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E₂ = 1.724
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
त्रुटि सीमाओं का अनुपात
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(100/400) = 0.3193
नई त्रुटि सीमा
E₂ = 5.4·0.3193 = 1.724
उत्तर
E₂ = 1.724
8.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 6.574 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
संयुक्त मानक विचलन
sp² = (13·8² + 11·1.5²)/24 = 35.7
sp = 5.975
त्रुटि सीमा
E = 2.797·5.975·√(1/14 + 1/12) = 6.574
उत्तर
E = 6.574 kg
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = −1.1
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
माध्य अंतर की मानक त्रुटि
SE = 10/√6 = 4.082
परीक्षण सांख्यिकी
t = −4.49/4.082 = −1.1
उत्तर
t = −1.1
df = 5 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.571 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: U = 79.44
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 2.576·10/√16 = 6.44
अंतराल सीमा
U = 73 + 6.44 = 79.44
उत्तर
U = 79.44
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9775
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 355/6 = 59.17
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 187
Syy = Σ(y − ȳ)² = 522.8
सहसंबंध गुणांक
r = 187/√(70·522.8) = 0.9775
उत्तर
r = 0.9775
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 9.229
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 126/6 = 21
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206
समाश्रयण रेखा
b = 206/70 = 2.943
a = 21 − 2.943·7 = 0.4
ŷ = 0.4 + 2.943·x
पूर्वानुमान
ŷ = 0.4 + 2.943·3 = 9.229
उत्तर
ŷ = 9.229
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