सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 23, 28, 56, 14, 47।

n = 5
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 82.5 से अधिक है?

μ = 70σ = 10x = 82.5
P =
3.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 2 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 2
P =
4.प्रायिकताकठिन
€p(x)−30.760.25270.05

एक खेल खेलने का मूल्य €3 है। आप प्रायिकता 0.25 से €9 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €30; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €3€9: p = 0.25€30: p = 0.05
E(G) = €
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123z−z और z के बीच छायांकित क्षेत्रफल = 0.5763

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.5763 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.5763
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
35455565758595अंकनीचे 75%

परीक्षा अंक औसत 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 75% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 65 अंकσ = 10 अंक75%
x = अंक
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 8, s = 1L = ?Ux̄ = 116.5E99%

8 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 116.5 और मानक विचलन s = 1 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 8x̄ = 116.5s = 199%t(7) = 3.499
निचली सीमा =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 38, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 590%

समष्टि मानक विचलन 38 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 5 हो?

σ = 38E = 590%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.3062.306t = ?df = 8

9 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 2.75 और अंतरों का मानक विचलन 2.5 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 9d̄ = 2.75sd = 2.5
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
−1.961.96z = ?

एक परीक्षण में उपचार A वाले 100 में से 35 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 300 में से 117 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 35n₁ = 100x₂ = 117n₂ = 300
z =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy1243415497609711188xy51020406080

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6
r² =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy361578792910311118xy5106080100120x = 4

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (4, 74) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(4, 74)
e =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.39

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 168/5 = 33.6

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−10.6)² + (−5.6)² + 22.4² + (−19.6)² + 13.4² = 1209

मानक विचलन

s = √(1209/4) = 17.39

उत्तर

s = 17.39
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.1056

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 1.25

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056

उत्तर

P = 0.1056
3.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.3056

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056

उत्तर

P = 0.3056
4.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 0.75 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 6 (p = 0.25), 27 (p = 0.05), −3 (p = 0.7)

प्रत्याशित मान

E(G) = 6·0.25 + 27·0.05 − 3·0.7 = 0.75 €

उत्तर

E(G) = 0.75 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.8

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.5763)/2 = 0.7881

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.7881 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.80

उत्तर

z = 0.80
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 71.7 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.75

सारणी से z

z ≈ 0.67

मूल इकाइयों में वापस

x = 65 + 0.67·10 = 71.7 अंक

उत्तर

x = 71.7 अंक
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 115.3

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 7, t = 3.499

त्रुटि सीमा

E = 3.499·1/√8 = 1.237

अंतराल

116.5 ± 1.237 → [115.3, 117.7]

उत्तर

निचली सीमा = 115.3
8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 157

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.645·38/5)² = 156.3

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 157

उत्तर

n = 157
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 3.3

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 2.5/√9 = 0.8333

परीक्षण सांख्यिकी

t = 2.75/0.8333 = 3.3

उत्तर

t = 3.3

df = 8 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.306 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −0.7137

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 35/100 = 0.35
p̂₂ = 117/300 = 0.39
p̂ = 152/400 = 0.38

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.38·0.62·(1/100 + 1/300)) = 0.05605

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.35 − 0.39)/0.05605 = −0.7137

उत्तर

z = −0.7137

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9885

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 333/6 = 55.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 421
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2562

निर्धारण गुणांक

r² = 421²/(70·2562) = 0.9885

उत्तर

r² = 0.9885

y के विचरण का लगभग 98.85% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 4.45

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 452/5 = 90.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278

समाश्रयण रेखा

b = 278/40 = 6.95
a = 90.4 − 6.95·7 = 41.75
ŷ = 41.75 + 6.95·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 41.75 + 6.95·4 = 69.55

अवशिष्ट

e = 74 − 69.55 = 4.45

उत्तर

e = 4.45

बिंदु रेखा के ऊपर है।

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