सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 25, 34, 13, 12, 18।

n = 5

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 84 से अधिक है?

μ = 60σ = 12x = 84

P =

3.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.2, 0.3, 0.3

σ =

4.प्रायिकताकठिन

एक खेल खेलने का मूल्य €5 है। आप प्रायिकता 0.2 से €25 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €250; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €5€25: p = 0.2€250: p = 0.02

E(G) = €

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 60 s और मानक विचलन 5 s है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 45 s और मानक विचलन 4 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 117.8 s से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117.8 s

P =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

बैटरी जीवनकाल माध्य 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 95% आते हैं (95वाँ शततमक)।

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

20 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 26.5 और मानक विचलन s = 19.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 20x̄ = 26.5s = 19.590%t(19) = 1.729

निचली सीमा =

8.विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.3 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.01 हो?

p ≈ 0.3E = 0.0195%

n =

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

25 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 501.9 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 500 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 500x̄ = 501.9s = 8n = 25

t =

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

H₀: μ = 100 बनाम H₁: μ > 100 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.01 पर 64 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 16 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 107 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 100μ = 107σ = 16n = 64α = 0.01

1 − β = %

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6

r² =

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 4 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 4

ŷ =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 9.182

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 102/5 = 20.4

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 4.6² + 13.6² + (−7.4)² + (−8.4)² + (−2.4)² = 337.2

मानक विचलन

s = √(337.2/4) = 9.182

उत्तर

s = 9.182

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

मानकीकृत करें

z = 2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

3.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.1

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.2 + 1·0.2 + 2·0.3 + 3·0.3 = 1.7

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.2 + 4·0.3 + 9·0.3 = 4.1

प्रसरण

Var(X) = 4.1 − 1.7² = 1.21

σ = √1.21 = 1.1

उत्तर

σ = 1.1

4.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 5 €

शुद्ध परिणाम

G: 20 (p = 0.2), 245 (p = 0.02), −5 (p = 0.78)

प्रत्याशित मान

E(G) = 20·0.2 + 245·0.02 − 5·0.78 = 5 €

उत्तर

E(G) = 5 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.02275

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

मानकीकृत करें

z = (117.8 − 105)/6.403 = 2

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 565.8 h

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

वापस x पर

x = 500 + 1.645·40 = 565.8 h

उत्तर

x = 565.8 h

7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 18.96

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 19, t = 1.729

त्रुटि सीमा

E = 1.729·19.5/√20 = 7.539

अंतराल

26.5 ± 7.539 → [18.96, 34.04]

उत्तर

निचली सीमा = 18.96

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 8068

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.3·0.7/0.01² = 8067

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 8068

उत्तर

n = 8068

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.187

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

परीक्षण सांख्यिकी

t = (501.9 − 500)/1.6 = 1.187

उत्तर

t = 1.187

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 87.98 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 100 + 2.326·2 = 104.7

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (104.7 − 107)/2 = −1.174

शक्ति

शक्ति = P(Z > −1.174) = 87.98%

1 − β = 87.98%

उत्तर

1 − β = 87.98%

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.8351

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 360/6 = 60

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 542

निर्धारण गुणांक

r² = 178²/(70·542) = 0.8351

उत्तर

r² = 0.8351

y के विचरण का लगभग 83.51% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 61.84

माध्य

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 502/6 = 83.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 382

समाश्रयण रेखा

b = 382/70 = 5.457

a = 83.67 − 5.457·8 = 40.01

ŷ = 40.01 + 5.457·x

पूर्वानुमान

ŷ = 40.01 + 5.457·4 = 61.84

उत्तर

ŷ = 61.84

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