सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
1520253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 19, 11, 39, 53, 37, 53।

n = 6
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 40 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 460 से अधिक है?

μ = 500σ = 40x = 460
P =
3.प्रायिकतामध्यम
n = 11k = 3N = ?

11 लोगों के समूह से 3 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 11k = 3
N =
4.प्रायिकताकठिन
xp(x)10.2520.2530.2540.250.05μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 3X + 4। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.25, 0.25, 0.2, 0.05Y = 3X + 4
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
425 kg438.4 kgT = X₁ + … + X₅?

सामान वाले यात्री के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 85 kg और मानक विचलन 12 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 5 का कुल द्रव्यमान 438.4 kg से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5< 438.4 kg
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
10 g0X − Y?

लाइन 1 के उत्पाद का द्रव्यमान X और लाइन 2 के उत्पाद का Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 500 g और मानक विचलन 8 g है, Y का माध्य 490 g और मानक विचलन 6 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 40 फ़ोन, माध्य 125.5 h, ज्ञात मानक विचलन 13 h। मॉडल 2: 100 फ़ोन, माध्य 124.5 h, ज्ञात मानक विचलन 16 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 40x̄₁ = 125.5 hσ₁ = 13 hn₂ = 100x̄₂ = 124.5 hσ₂ = 16 h99%
E = h
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 15σ = ?Us = 695%

15 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 6 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 14 के साथ χ² बंटन का 2.5% 5.629 से नीचे और 2.5% 26.119 से ऊपर है।

n = 15s = 6 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.13102.131

16 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 194.8 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 194.8s = 8n = 16
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो? मानक विचलन 10 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 10E = 2.595%
n =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy358465573677783xy46607080

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy158118109211202414227167xy152025100150x = 22.5

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 22.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 22.5
ŷ =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 17.32

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 212/6 = 35.33

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−16.33)² + (−24.33)² + 3.667² + 17.67² + 1.667² + 17.67² = 1499

मानक विचलन

s = √(1499/5) = 17.32

उत्तर

s = 17.32
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8413

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
3.प्रायिकता

उत्तर: N = 165

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

उत्तर

N = 165
4.प्रायिकता

उत्तर: σY = 3.609

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 2.55, Var(X) = 1.448, σX = 1.203

रैखिक परिवर्तन

σY = |3|·1.203 = 3.609

उत्तर

σY = 3.609

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 3·2.55 + 4 = 11.65।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.6915

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26.83 kg

मानकीकृत करें

z = (438.4 − 425)/26.83 = 0.5

प्रायिकता

P = Φ(0.5) = 0.6915

उत्तर

P = 0.6915
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/10 = −1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 6.71 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 125.5 − 124.5 = 1

मानक त्रुटि

SE = √(13²/40 + 16²/100) = 2.605

त्रुटि सीमा

E = 2.576·2.605 = 6.71

उत्तर

E = 6.71 h

अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 4.393 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 14·6² = 504

σ² की सीमाएँ

504/26.119 = 19.3
504/5.629 = 89.54

σ की सीमा

σ = √19.3 = 4.393 µm

उत्तर

σ = 4.393 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [4.393, 9.462] µm।

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.6

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

परीक्षण सांख्यिकी

t = (194.8 − 200)/2 = −2.6

उत्तर

t = −2.6
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| > 2.131, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 62

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.96·10/2.5)² = 61.47

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 62

उत्तर

n = 62
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9943

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 356/5 = 71.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62
Syy = Σ(y − ȳ)² = 388.8

सहसंबंध गुणांक

r = 62/√(10·388.8) = 0.9943

उत्तर

r = 0.9943
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 134.1

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 619/5 = 123.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 615

समाश्रयण रेखा

b = 615/90 = 6.833
a = 123.8 − 6.833·21 = −19.7
ŷ = −19.7 + 6.833·x

पूर्वानुमान

ŷ = −19.7 + 6.833·22.5 = 134.1

उत्तर

ŷ = 134.1

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