सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
101520253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 51, 16, 54, 40, 10।

n = 5
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 55 से कम है?

μ = 70σ = 15x = 55
P =
3.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 4 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 4
P =
4.प्रायिकताकठिन
n = 9, p = 0.3: P(X = 3) = ?k0123456789

एक परीक्षा में 9 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.3 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 3 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 9p = 0.3k = 3
P =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
105 s110.1 sX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 60 s और मानक विचलन 5 s है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 45 s और मानक विचलन 4 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 110.1 s से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 110.1 s
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
35455565758595अंकऊपर 15%

परीक्षा अंक औसत 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 15% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 65 अंकσ = 10 अंक15%
x = अंक
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 40 फ़ोन, माध्य 69.5 h, ज्ञात मानक विचलन 11 h। मॉडल 2: 40 फ़ोन, माध्य 75.5 h, ज्ञात मानक विचलन 13 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 40x̄₁ = 69.5 hσ₁ = 11 hn₂ = 40x̄₂ = 75.5 hσ₂ = 13 h99%
E = h
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₁ − μ₂, t(20) = 2.8450LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 16 प्लॉट, माध्य उपज 61.5 kg, मानक विचलन 2 kg। प्लॉट समूह 2: 6 प्लॉट, माध्य 67 kg, मानक विचलन 5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 16x̄₁ = 61.5s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 67s₂ = 599%t(20) = 2.845
E = kg
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.26p = ?

एक समष्टि का माध्य 50 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 20 ज्ञात है। 25 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 44.96 है। H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ < 50 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 50σ = 20n = 25x̄ = 44.96H₁: μ < μ₀
p =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो? मानक विचलन 4 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 4E = 399%
n =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy254126198221028xy510102030

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy24044565485810661269xy51040506070ŷ = 56

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 56 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 56
x =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 20.15

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 171/5 = 34.2

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 16.8² + (−18.2)² + 19.8² + 5.8² + (−24.2)² = 1625

मानक विचलन

s = √(1625/4) = 20.15

उत्तर

s = 20.15
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.1587

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587

उत्तर

P = 0.1587
3.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5177

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177

उत्तर

P = 0.5177
4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2668

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 3) = 84·0.33·0.76 = 84·0.027·0.1176 = 0.2668

उत्तर

P = 0.2668
5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.2119

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

मानकीकृत करें

z = (110.1 − 105)/6.403 = 0.8

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

उत्तर

P = 0.2119
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 75.4 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.85

सारणी से z

z ≈ 1.04

मूल इकाइयों में वापस

x = 65 + 1.04·10 = 75.4 अंक

उत्तर

x = 75.4 अंक
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 6.936 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 69.5 − 75.5 = −6

मानक त्रुटि

SE = √(11²/40 + 13²/40) = 2.693

त्रुटि सीमा

E = 2.576·2.693 = 6.936

उत्तर

E = 6.936 h

अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 4.142 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

संयुक्त मानक विचलन

sp² = (15·2² + 5·5²)/20 = 9.25
sp = 3.041

त्रुटि सीमा

E = 2.845·3.041·√(1/16 + 1/6) = 4.142

उत्तर

E = 4.142 kg
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.1038

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 20/√25 = 4
z = (44.96 − 50)/4 = −1.26

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.26) = 0.8962
1 − Φ(1.26) = 0.1038

p-मान

p = 0.1038

उत्तर

p = 0.1038

p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 12

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (2.576·4/3)² = 11.8

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 12

उत्तर

n = 12
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9918

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 86/5 = 17.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112
Syy = Σ(y − ȳ)² = 318.8

सहसंबंध गुणांक

r = 112/√(40·318.8) = 0.9918

उत्तर

r = 0.9918
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 7.22

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 332/6 = 55.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212

समाश्रयण रेखा

b = 212/70 = 3.029
a = 55.33 − 3.029·7 = 34.13
ŷ = 34.13 + 3.029·x

x के लिए हल करें

x = (56 − 34.13)/3.029 = 7.22

उत्तर

x = 7.22

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