सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 53, 49, 15, 45, 15, 59।

n = 6

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 72.5 से कम है?

μ = 50σ = 15x = 72.5

P =

3.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.35, 0.25, 0.2

Var(X) =

4.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 9 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.25 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 9p = 0.25k = 4

P =

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.2483 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.2483

z =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 90% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 30 फ़ोन, माध्य 149 h, ज्ञात मानक विचलन 18 h। मॉडल 2: 50 फ़ोन, माध्य 155.5 h, ज्ञात मानक विचलन 8 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 30x̄₁ = 149 hσ₁ = 18 hn₂ = 50x̄₂ = 155.5 hσ₂ = 8 h99%

E = h

8.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.04 हो?

p = 0.5E = 0.0490%

n =

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

36 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 96.53 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 96.53s = 8n = 36

t =

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक परीक्षण में उपचार A वाले 80 में से 44 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 150 में से 65 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 44n₁ = 80x₂ = 65n₂ = 150

z =

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5

r =

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 20 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 20

x =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 19.41

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 236/6 = 39.33

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 13.67² + 9.667² + (−24.33)² + 5.667² + (−24.33)² + 19.67² = 1883

मानक विचलन

s = √(1883/5) = 19.41

उत्तर

s = 19.41

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9332

मानकीकृत करें

z = 1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

उत्तर

P = 0.9332

3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.047

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.2 + 1·0.35 + 2·0.25 + 3·0.2 = 1.45

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.35 + 4·0.25 + 9·0.2 = 3.15

प्रसरण

Var(X) = 3.15 − 1.45² = 1.047

उत्तर

Var(X) = 1.047

4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1168

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 126·0.25⁴·0.75⁵ = 126·0.003906·0.2373 = 0.1168

उत्तर

P = 0.1168

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.68

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.2483 = 0.7517

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.7517 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.68

उत्तर

z = 0.68

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 551 h

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.9

सारणी से z

z ≈ 1.28

मूल इकाइयों में वापस

x = 500 + 1.28·40 = 551 h

उत्तर

x = 551 h

7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 8.953 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 149 − 155.5 = −6.5

मानक त्रुटि

SE = √(18²/30 + 8²/50) = 3.476

त्रुटि सीमा

E = 2.576·3.476 = 8.953

उत्तर

E = 8.953 h

अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.645²·0.5·0.5/0.04² = 422.8

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 423

उत्तर

n = 423

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.602

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

परीक्षण सांख्यिकी

t = (96.53 − 100)/1.333 = −2.602

उत्तर

t = −2.602

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 1.688

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 44/80 = 0.55

p̂₂ = 65/150 = 0.4333

p̂ = 109/230 = 0.4739

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.4739·0.5261·(1/80 + 1/150)) = 0.06913

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.55 − 0.4333)/0.06913 = 1.688

उत्तर

z = 1.688

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.998

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 90/5 = 18

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 282

सहसंबंध गुणांक

r = 106/√(40·282) = 0.998

उत्तर

r = 0.998

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 4.333

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 110/5 = 22

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

समाश्रयण रेखा

b = −15/10 = −1.5

a = 22 − (−1.5)·3 = 26.5

ŷ = 26.5 − 1.5·x

x के लिए हल करें

x = (20 − 26.5)/(−1.5) = 4.333

उत्तर

x = 4.333

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