सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
152025303540

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 43, 18, 27, 34, 38, 12, 19।

n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 74 से कम है?

μ = 70σ = 10x = 74
P =
3.प्रायिकतामध्यम
xp(x)10.2520.3530.2540.150.05μ = 2.35

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.35, 0.25, 0.1, 0.05
Var(X) =
4.प्रायिकताकठिन
n = 11, p = 0.4: P(X = 4) = ?k01234567891011

एक परीक्षा में 11 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.4 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 11p = 0.4k = 4
P =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.9370

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.9370 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.9370
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
557085100115130145अंकऊपर 5%

IQ अंक औसत 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 5% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 100 अंकσ = 15 अंक5%
x = अंक
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 9, s = 3.5LUx̄ = 45E = ?90%

9 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 45 और मानक विचलन s = 3.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 9x̄ = 45s = 3.590%t(8) = 1.86
E =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 25σ = ?Us = 2.595%

25 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 2.5 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 24 के साथ χ² बंटन का 2.5% 12.401 से नीचे और 2.5% 39.364 से ऊपर है।

n = 25s = 2.5 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.0932.093t = ?df = 19

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 14 छात्र, माध्य अंक 51, मानक विचलन 11.5। समूह 2: 7 छात्र, माध्य अंक 43.1, मानक विचलन 6। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 14x̄₁ = 51s₁ = 11.5n₂ = 7x̄₂ = 43.1s₂ = 6
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2.5α = 0.05βσ = 14, शक्ति 80%, n = ?

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 2.5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 14 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 80%δ = 2.5σ = 14zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy3495597689751184xy5106080

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 35Σy = 335Σx² = 285Σy² = 23187Σxy = 2517
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy163319462266257528823186xy15202530406080x = 29.5

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 29.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 29.5
ŷ =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 11.51

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 191/7 = 27.29

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 15.71² + (−9.286)² + (−0.2857)² + 6.714² + 10.71² + (−15.29)² + (−8.286)² = 795.4

मानक विचलन

s = √(795.4/6) = 11.51

उत्तर

s = 11.51
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.6554

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 0.4

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554

उत्तर

P = 0.6554
3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 1.227

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.25 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.1 + 5·0.05 = 2.35

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.1 + 25·0.05 = 6.75

प्रसरण

Var(X) = 6.75 − 2.35² = 1.227

उत्तर

Var(X) = 1.227
4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2365

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 330·0.44·0.67 = 330·0.0256·0.02799 = 0.2365

उत्तर

P = 0.2365
5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = −1.53

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.9370 = 0.0630

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.0630 खोजें और z पढ़ें।

z = −1.53

उत्तर

z = −1.53
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 124.6 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.95

सारणी से z

z ≈ 1.64

मूल इकाइयों में वापस

x = 100 + 1.64·15 = 124.6 अंक

उत्तर

x = 124.6 अंक
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 2.17

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 8, t = 1.86

त्रुटि सीमा

E = 1.86·3.5/√9 = 2.17

उत्तर

E = 2.17
8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 1.952 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 24·2.5² = 150

σ² की सीमाएँ

150/39.364 = 3.811
150/12.401 = 12.1

σ की सीमा

σ = √3.811 = 1.952 µm

उत्तर

σ = 1.952 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [1.952, 3.478] µm।

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.691

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

sp² = (13·11.5² + 6·6²)/19 = 101.9
sp = 10.09

मानक त्रुटि

SE = 10.09·√(1/14 + 1/7) = 4.672

परीक्षण सांख्यिकी

t = (51 − 43.1)/4.672 = 1.691

उत्तर

t = 1.691

df = 19 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.093 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 194

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 0.842)·14/2.5)² = 194

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 194

उत्तर

n = 194
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9984

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 2517 − 35·335/5 = 172
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 23187 − 335²/5 = 742

सहसंबंध गुणांक

r = 172/√(40·742) = 0.9984

उत्तर

r = 0.9984
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 86.5

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 141/6 = 23.5
ȳ = 388/6 = 64.67

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 573

समाश्रयण रेखा

b = 573/157.5 = 3.638
a = 64.67 − 3.638·23.5 = −20.83
ŷ = −20.83 + 3.638·x

पूर्वानुमान

ŷ = −20.83 + 3.638·29.5 = 86.5

उत्तर

ŷ = 86.5

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