वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 51, 13, 13, 16, 50, 36।
n = 6
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 118 से कम है?
μ = 100σ = 12x = 118
P =
3.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.25, 0.1, 0.35
Var(X) =
4.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = −2X + 4। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.3, 0.15, 0.2Y = −2X + 4
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 30.2 और 33.2 min के बीच है? P को दशमलव में दें।
μ = 32σ = 6x1 = 30.2x2 = 33.2
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
परीक्षा अंक औसत 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 5% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।
μ = 65 अंकσ = 10 अंक5%
x = अंक
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
ज्ञात σ और 25 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 8.6 है। 50 प्रेक्षणों पर आधारित 99% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?
90%n₁ = 25E₁ = 8.699%n₂ = 50
E₂ =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 27 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 5 हो?
σ = 27E = 590%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
एक समष्टि का माध्य 500 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 5 ज्ञात है। 25 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 501.24 है। H₀: μ = 500 बनाम H₁: μ ≠ 500 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 500σ = 5n = 25x̄ = 501.24H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक परीक्षण में उपचार A वाले 100 में से 70 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 80 में से 44 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 44n₂ = 80
z =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।
n = 5
r² =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (4.5, 16) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।
n = 5(4.5, 16)
e =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 18.17
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 179/6 = 29.83
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = 21.17² + (−16.83)² + (−16.83)² + (−13.83)² + 20.17² + 6.167² = 1651
मानक विचलन
s = √(1651/5) = 18.17
उत्तर
s = 18.17
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.9332
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 1.5
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
उत्तर
P = 0.9332
3.प्रायिकता
उत्तर: Var(X) = 1.55
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 0·0.3 + 1·0.25 + 2·0.1 + 3·0.35 = 1.5
वर्गों का माध्य
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.25 + 4·0.1 + 9·0.35 = 3.8
प्रसरण
Var(X) = 3.8 − 1.5² = 1.55
उत्तर
Var(X) = 1.55
4.प्रायिकता
उत्तर: σY = 2.245
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 1.2, Var(X) = 1.26, σX = 1.122
रैखिक परिवर्तन
σY = |−2|·1.122 = 2.245
उत्तर
σY = 2.245
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = −2·1.2 + 4 = 1.6।
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.1972
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
z-स्कोर
z₁ = (30.2 − 32)/6 = −0.3
z₂ = (33.2 − 32)/6 = 0.2
बीच का क्षेत्रफल
P = Φ(0.2) − Φ(−0.3) = 0.5793 − 0.3821 = 0.1972
उत्तर
P = 0.1972
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 81.4 अंक
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 0.95
सारणी से z
z ≈ 1.64
मूल इकाइयों में वापस
x = 65 + 1.64·10 = 81.4 अंक
उत्तर
x = 81.4 अंक
7.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E₂ = 9.523
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
त्रुटि सीमाओं का अनुपात
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(25/50) = 1.107
नई त्रुटि सीमा
E₂ = 8.6·1.107 = 9.523
उत्तर
E₂ = 9.523
8.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 79
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (1.645·27/5)² = 78.91
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 79
उत्तर
n = 79
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: p = 0.215
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
परीक्षण सांख्यिकी
SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (501.24 − 500)/1 = 1.24
पुच्छ क्षेत्रफल
Φ(1.24) = 0.8925
1 − Φ(1.24) = 0.1075
p-मान
p = 2·0.1075 = 0.215
उत्तर
p = 0.215
p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = 2.075
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
प्रतिदर्श अनुपात
p̂₁ = 70/100 = 0.7
p̂₂ = 44/80 = 0.55
p̂ = 114/180 = 0.6333
H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि
SE = √(0.6333·0.3667·(1/100 + 1/80)) = 0.07228
परीक्षण सांख्यिकी
z = (0.7 − 0.55)/0.07228 = 2.075
उत्तर
z = 2.075
|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r² = 0.9443
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 63/5 = 12.6
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 77.2
निर्धारण गुणांक
r² = 54²/(40·77.2) = 0.9443
उत्तर
r² = 0.9443
y के विचरण का लगभग 94.43% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: e = −2.7
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 104/5 = 20.8
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
समाश्रयण रेखा
b = −14/10 = −1.4
a = 20.8 − (−1.4)·3 = 25
ŷ = 25 − 1.4·x
पूर्वानुमानित मान
ŷ = 25 + (−1.4)·4.5 = 18.7
अवशिष्ट
e = 16 − 18.7 = −2.7
उत्तर
e = −2.7
बिंदु रेखा के नीचे है।
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