सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 12, 14, 50, 58, 22, 31।

n = 6

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 170 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 180 से कम है?

μ = 170σ = 8x = 180

P =

3.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.1, 0.2, 0.35, 0.35

σ =

4.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 2X − 3। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.1, 0.1, 0.35, 0.1Y = 2X − 3

σ_Y =

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.9476 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.9476

z =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

किसी समूह में पुरुषों की ऊँचाई X और महिलाओं की ऊँचाई Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 180 cm और मानक विचलन 10 cm है, Y का माध्य 170 cm और मानक विचलन 12 cm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

ज्ञात σ और 25 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 7.6 है। उन्हीं आँकड़ों से 95% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

99%n₁ = 25E₁ = 7.695%

E₂ =

8.विश्वास्यता अंतरालकठिन

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.8 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.04 हो?

p ≈ 0.8E = 0.0495%

n =

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

36 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 121.6 और प्रतिदर्श मानक विचलन 4 है। H₀: μ = 120 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 120x̄ = 121.6s = 4n = 36

t =

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 4 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 27 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.05शक्ति = 80%δ = 4σ = 27z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6

r² =

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (1.5, 29) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(1.5, 29)

e =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 19.08

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 187/6 = 31.17

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−19.17)² + (−17.17)² + 18.83² + 26.83² + (−9.167)² + (−0.1667)² = 1821

मानक विचलन

s = √(1821/5) = 19.08

उत्तर

s = 19.08

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8944

मानकीकृत करें

z = 1.25

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

उत्तर

P = 0.8944

3.प्रायिकता

उत्तर: σ = 9.734

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 10·0.1 + 20·0.2 + 30·0.35 + 40·0.35 = 29.5

वर्गों का माध्य

E(X²) = 100·0.1 + 400·0.2 + 900·0.35 + 1600·0.35 = 965

प्रसरण

Var(X) = 965 − 29.5² = 94.75

σ = √94.75 = 9.734

उत्तर

σ = 9.734

4.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 2.958

X का फैलाव

μ = 1.75, Var(X) = 2.188, σ_X = 1.479

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |2|·1.479 = 2.958

उत्तर

σ_Y = 2.958

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 2·1.75 − 3 = 0.5।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 1.94

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.9476)/2 = 0.9738

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9738 खोजें और z पढ़ें।

z = 1.94

उत्तर

z = 1.94

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7389

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

उत्तर

P = 0.7389

7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 5.783

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(25/25) = 0.7609

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 7.6·0.7609 = 5.783

उत्तर

E₂ = 5.783

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 1.96²·0.8·0.2/0.04² = 384.2

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 385

उत्तर

n = 385

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.4

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667

परीक्षण सांख्यिकी

t = (121.6 − 120)/0.6667 = 2.4

उत्तर

t = 2.4

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 282

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((1.645 + 0.842)·27/4)² = 281.8

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 282

उत्तर

n = 282

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9493

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 468/6 = 78

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 368

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2038

निर्धारण गुणांक

r² = 368²/(70·2038) = 0.9493

उत्तर

r² = 0.9493

y के विचरण का लगभग 94.93% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = 4.25

माध्य

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 108/5 = 21.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

समाश्रयण रेखा

b = −21/10 = −2.1

a = 21.6 − (−2.1)·3 = 27.9

ŷ = 27.9 − 2.1·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 27.9 + (−2.1)·1.5 = 24.75

अवशिष्ट

e = 29 − 24.75 = 4.25

उत्तर

e = 4.25

बिंदु रेखा के ऊपर है।

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