सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
20253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 46, 41, 47, 35, 50, 16, 38।

n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 100 से अधिक है?

μ = 60σ = 20x = 100
P =
3.प्रायिकतामध्यम
xp(x)100.2200.35300.25400.2μ = 24.5

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.2, 0.35, 0.25, 0.2
Var(X) =
4.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.3510.3520.3μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 2X + 5। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 2X + 5
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.0262

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0262 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.0262
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
380420460500540580620hऊपर 95%

बैटरी जीवनकाल औसत 500 h और मानक विचलन 40 h के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 95% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 500 hσ = 40 h95%
x = h
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 13, s = 2.5LU = ?x̄ = 77.5E95%

13 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 77.5 और मानक विचलन s = 2.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 13x̄ = 77.5s = 2.595%t(12) = 2.179
ऊपरी सीमा =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 16Lσ = ?s = 295%

16 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 2 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 15 के साथ χ² बंटन का 2.5% 6.262 से नीचे और 2.5% 27.488 से ऊपर है।

n = 16s = 2 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.961.96z = ?

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 60 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 75 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 8 mm है। लाइन 2: 50 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 76.7 mm, ज्ञात मानक विचलन 13 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 60x̄₁ = 75 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 50x̄₂ = 76.7 mmσ₂ = 13 mm
z =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
−1.961.96z = ?

एक परीक्षण में उपचार A वाले 250 में से 175 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 80 में से 66 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 175n₁ = 250x₂ = 66n₂ = 80
z =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy284166248341038xy51010203040

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 30Σy = 120Σx² = 220Σy² = 3496Σxy = 876
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy234106128151020xy5101020ŷ = 10

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 10 का पूर्वानुमान देती है?

n = 5ŷ = 10
x =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 11.43

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 273/7 = 39

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 7² + 2² + 8² + (−4)² + 11² + (−23)² + (−1)² = 784

मानक विचलन

s = √(784/6) = 11.43

उत्तर

s = 11.43
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.02275

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275

उत्तर

P = 0.02275
3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 104.8

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 10·0.2 + 20·0.35 + 30·0.25 + 40·0.2 = 24.5

वर्गों का माध्य

E(X²) = 100·0.2 + 400·0.35 + 900·0.25 + 1600·0.2 = 705

प्रसरण

Var(X) = 705 − 24.5² = 104.8

उत्तर

Var(X) = 104.8
4.प्रायिकता

उत्तर: σY = 1.609

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047

रैखिक परिवर्तन

σY = |2|·0.8047 = 1.609

उत्तर

σY = 1.609

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 2·0.95 + 5 = 6.9।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 1.94

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.0262 = 0.9738

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9738 खोजें और z पढ़ें।

z = 1.94

उत्तर

z = 1.94
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 434 h

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.05

सारणी से z

z ≈ −1.64

मूल इकाइयों में वापस

x = 500 − 1.64·40 = 434 h

उत्तर

x = 434 h
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 79.01

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 12, t = 2.179

त्रुटि सीमा

E = 2.179·2.5/√13 = 1.511

अंतराल

77.5 ± 1.511 → [75.99, 79.01]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 79.01
8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 3.095 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 15·2² = 60

σ² की सीमाएँ

60/27.488 = 2.183
60/6.262 = 9.582

σ की सीमा

σ = √9.582 = 3.095 µm

उत्तर

σ = 3.095 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [1.477, 3.095] µm।

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −0.8062

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(8²/60 + 13²/50) = √4.447 = 2.109

परीक्षण सांख्यिकी

z = (75 − 76.7)/2.109 = −0.8062

उत्तर

z = −0.8062

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −2.193

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 175/250 = 0.7
p̂₂ = 66/80 = 0.825
p̂ = 241/330 = 0.7303

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.7303·0.2697·(1/250 + 1/80)) = 0.05701

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.7 − 0.825)/0.05701 = −2.193

उत्तर

z = −2.193

|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9938

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 876 − 30·120/5 = 156
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3496 − 120²/5 = 616

सहसंबंध गुणांक

r = 156/√(40·616) = 0.9938

उत्तर

r = 0.9938
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 4.974

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 60/5 = 12

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

समाश्रयण रेखा

b = 78/40 = 1.95
a = 12 − 1.95·6 = 0.3
ŷ = 0.3 + 1.95·x

x के लिए हल करें

x = (10 − 0.3)/1.95 = 4.974

उत्तर

x = 4.974

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