सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्नकोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2530354045505560

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 50, 60, 37, 25, 26, 28।

n = 6
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 64 से कम है?

μ = 60σ = 10x = 64
P =
3.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 4 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 4
P =
4.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.310.220.3530.15μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 10X + 5। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.2, 0.35, 0.15Y = 10X + 5
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
174.85185P = ?

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 174.85 और 185 cm के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 178σ = 7x1 = 174.85x2 = 185
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
4 s0X − Y?

धावक A का चक्कर समय X और धावक B का चक्कर समय Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 52 s और मानक विचलन 4 s है, Y का माध्य 48 s और मानक विचलन 3 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 100 फ़ोन, माध्य 82 h, ज्ञात मानक विचलन 8 h। मॉडल 2: 30 फ़ोन, माध्य 67.5 h, ज्ञात मानक विचलन 4 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 100x̄₁ = 82 hσ₁ = 8 hn₂ = 30x̄₂ = 67.5 hσ₂ = 4 h99%
निचली सीमा = h
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 24, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

समष्टि मानक विचलन 24 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो?

σ = 24E = 395%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.961.96z = ?

दो उत्पादन लाइनें एक ही पुर्ज़ा बनाती हैं। लाइन 1: 60 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 143 mm है, और लाइन का ज्ञात मानक विचलन 5 mm है। लाइन 2: 50 पुर्ज़ों के प्रतिदर्श का माध्य 141.8 mm, ज्ञात मानक विचलन 11 mm है। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (लाइन 1 घटा लाइन 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

n₁ = 60x̄₁ = 143 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 50x̄₂ = 141.8 mmσ₂ = 11 mm
z =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 100 बनाम H₁: μ < 100 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.01 पर 64 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 24 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 90.7 है। परीक्षण की शक्ति 1 − β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 100μ = 90.7σ = 24n = 64α = 0.01
1 − β = %
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy14591769207723982610829135xy15202530100

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 129Σy = 546Σx² = 2931Σy² = 53664Σxy = 12516
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy32952873993511421343xy510303540x = 4

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 4 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 4
ŷ =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.43

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 226/6 = 37.67

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 12.33² + 22.33² + (−0.6667)² + (−12.67)² + (−11.67)² + (−9.667)² = 1041

मानक विचलन

s = √(1041/5) = 14.43

उत्तर

s = 14.43
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.6554

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 0.4

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554

उत्तर

P = 0.6554
3.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5177

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177

उत्तर

P = 0.5177
4.प्रायिकता

उत्तर: σY = 10.62

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 1.35, Var(X) = 1.128, σX = 1.062

रैखिक परिवर्तन

σY = |10|·1.062 = 10.62

उत्तर

σY = 10.62

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 10·1.35 + 5 = 18.5।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.515

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (174.85 − 178)/7 = −0.45
z₂ = (185 − 178)/7 = 1

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1) − Φ(−0.45) = 0.8413 − 0.3264 = 0.515

उत्तर

P = 0.515
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7881

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

मानकीकृत करें

z = (0 − 4)/5 = −0.8

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

उत्तर

P = 0.7881
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 11.71 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 82 − 67.5 = 14.5

मानक त्रुटि

SE = √(8²/100 + 4²/30) = 1.083

त्रुटि सीमा

E = 2.576·1.083 = 2.79

अंतराल

14.5 ± 2.79 → [11.71, 17.29]

उत्तर

निचली सीमा = 11.71 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 246

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.96·24/3)² = 245.9

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 246

उत्तर

n = 246
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = 0.7125

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

अंतर की मानक त्रुटि

SE = √(5²/60 + 11²/50) = √2.837 = 1.684

परीक्षण सांख्यिकी

z = (143 − 141.8)/1.684 = 0.7125

उत्तर

z = 0.7125

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: 1 − β = 78.05 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 24/√64 = 3
x̄c = 100 − 2.326·3 = 93.02

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (93.02 − 90.7)/3 = 0.774

शक्ति

शक्ति = P(Z < 0.774) = 78.05%
1 − β = 78.05%

उत्तर

1 − β = 78.05%
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9816

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 12516 − 129·546/6 = 777
Sxx = 2931 − 129²/6 = 157.5
Syy = 53664 − 546²/6 = 3978

सहसंबंध गुणांक

r = 777/√(157.5·3978) = 0.9816

उत्तर

r = 0.9816
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 29.83

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 216/6 = 36

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

समाश्रयण रेखा

b = 108/70 = 1.543
a = 36 − 1.543·8 = 23.66
ŷ = 23.66 + 1.543·x

पूर्वानुमान

ŷ = 23.66 + 1.543·4 = 29.83

उत्तर

ŷ = 29.83

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1