सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 15, 14, 38, 36, 25, 33, 55।

n = 7

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 500 और मानक विचलन 40 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 524 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 500σ = 40x = 524

z =

3.प्रायिकतामध्यम

एक थैले में 4 लाल और 8 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

4 / 8

P =

4.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = −2X + 4। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.35, 0.35, 0.05Y = −2X + 4

σ_Y =

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

परीक्षा अंक माध्य 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 50 और 85.5 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 65σ = 10x₁ = 50x₂ = 85.5

P =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

थैलों के भार औसत 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 40% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

9 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 78.5 और मानक विचलन s = 20 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 9x̄ = 78.5s = 2099%t(8) = 3.355

ऊपरी सीमा =

8.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 36 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 4 हो?

σ = 36E = 495%

n =

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 7 छात्र, माध्य अंक 60, मानक विचलन 6। समूह 2: 5 छात्र, माध्य अंक 54.6, मानक विचलन 5.5। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 7x̄₁ = 60s₁ = 6n₂ = 5x̄₂ = 54.6s₂ = 5.5

t =

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो? मानक विचलन 8 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 8E = 2.599%

n =

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5

r² =

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (4, 59) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(4, 59)

e =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.35

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 216/7 = 30.86

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−15.86)² + (−16.86)² + 7.143² + 5.143² + (−5.857)² + 2.143² + 24.14² = 1235

मानक विचलन

s = √(1235/6) = 14.35

उत्तर

s = 14.35

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 0.6

मानकीकृत करें

z = (524 − 500)/40 = 0.6

उत्तर

z = 0.6

3.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.09091

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0.09091

उत्तर

P = 0.09091

4.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 1.744

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 2.2, Var(X) = 0.76, σ_X = 0.8718

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |−2|·0.8718 = 1.744

उत्तर

σ_Y = 1.744

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = −2·2.2 + 4 = −0.4।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.913

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (50 − 65)/10 = −1.5

z₂ = (85.5 − 65)/10 = 2.05

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(2.05) − Φ(−1.5) = 0.9798 − 0.06681 = 0.913

उत्तर

P = 0.913

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 251.3 g

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.6

सारणी से z

z ≈ 0.25

मूल इकाइयों में वापस

x = 250 + 0.25·5 = 251.3 g

उत्तर

x = 251.3 g

7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 100.9

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 8, t = 3.355

त्रुटि सीमा

E = 3.355·20/√9 = 22.37

अंतराल

78.5 ± 22.37 → [56.13, 100.9]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 100.9

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 312

n ज्ञात करें

n = (1.96·36/4)² = 311.2

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 312

उत्तर

n = 312

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.589

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

s_p² = (6·6² + 4·5.5²)/10 = 33.7

s_p = 5.805

मानक त्रुटि

SE = 5.805·√(1/7 + 1/5) = 3.399

परीक्षण सांख्यिकी

t = (60 − 54.6)/3.399 = 1.589

उत्तर

t = 1.589

df = 10 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.228 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 68

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (2.576·8/2.5)² = 67.95

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 68

उत्तर

n = 68

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9662

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 281/5 = 56.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 410.8

निर्धारण गुणांक

r² = 126²/(40·410.8) = 0.9662

उत्तर

r² = 0.9662

y के विचरण का लगभग 96.62% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −4.6

माध्य

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 350/5 = 70

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 256

समाश्रयण रेखा

b = 256/40 = 6.4

a = 70 − 6.4·5 = 38

ŷ = 38 + 6.4·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 38 + 6.4·4 = 63.6

अवशिष्ट

e = 59 − 63.6 = −4.6

उत्तर

e = −4.6

बिंदु रेखा के नीचे है।

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