वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 17, 23, 18, 57, 19।
n = 5
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 53.2 से अधिक है?
μ = 50σ = 8x = 53.2
P =
3.प्रायिकतामध्यम
एक निष्पक्ष पासा 6 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?
n = 6
P =
4.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 0.5X + 20। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 0.5X + 20
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.0136 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.0136
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 95% आते हैं (95वाँ शततमक)।
μ = 178σ = 7P = 95%
x = cm
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 30 फ़ोन, माध्य 93.5 h, ज्ञात मानक विचलन 4 h। मॉडल 2: 50 फ़ोन, माध्य 98.5 h, ज्ञात मानक विचलन 11 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।
n₁ = 30x̄₁ = 93.5 hσ₁ = 4 hn₂ = 50x̄₂ = 98.5 hσ₂ = 11 h95%
ऊपरी सीमा = h
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
20 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 1.3 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 19 के साथ χ² बंटन का 2.5% 8.907 से नीचे और 2.5% 32.852 से ऊपर है।
n = 20s = 1.3 µmχ² = 8.907, 32.852
σ = µm
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
15 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 8.52 और अंतरों का मानक विचलन 10 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n = 15d̄ = 8.52sd = 10
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
एक परीक्षण में उपचार A वाले 120 में से 48 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 80 में से 40 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
x₁ = 48n₁ = 120x₂ = 40n₂ = 80
z =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।
n = 5
r² =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 1.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 5x = 1.5
ŷ =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 17.04
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 134/5 = 26.8
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−9.8)² + (−3.8)² + (−8.8)² + 30.2² + (−7.8)² = 1161
मानक विचलन
s = √(1161/4) = 17.04
उत्तर
s = 17.04
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.3446
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 0.4
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
उत्तर
P = 0.3446
3.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.6651
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
पूरक
P(छक्का नहीं) = (5/6)6 = 0.3349
P = 1 − 0.3349 = 0.6651
उत्तर
P = 0.6651
4.प्रायिकता
उत्तर: σY = 0.4023
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
रैखिक परिवर्तन
σY = |0.5|·0.8047 = 0.4023
उत्तर
σY = 0.4023
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 0.5·0.95 + 20 = 20.48।
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = 2.21
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 1 − 0.0136 = 0.9864
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.9864 खोजें और z पढ़ें।
z = 2.21
उत्तर
z = 2.21
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 189.5 cm
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
वापस x पर
x = 178 + 1.645·7 = 189.51 cm
उत्तर
x = 189.51 cm
7.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: ऊपरी सीमा = −1.632 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
बिंदु अनुमान
x̄₁ − x̄₂ = 93.5 − 98.5 = −5
मानक त्रुटि
SE = √(4²/30 + 11²/50) = 1.719
त्रुटि सीमा
E = 1.96·1.719 = 3.368
अंतराल
−5 ± 3.368 → [−8.368, −1.632]
उत्तर
ऊपरी सीमा = −1.632 h
अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।
8.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: σ = 1.899 µm
प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।
वर्गों का योग
(n − 1)s² = 19·1.3² = 32.11
σ² की सीमाएँ
32.11/32.852 = 0.9774
32.11/8.907 = 3.605
σ की सीमा
σ = √3.605 = 1.899 µm
उत्तर
σ = 1.899 µm
σ के लिए 95% अंतराल: [0.9886, 1.899] µm।
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 3.3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
माध्य अंतर की मानक त्रुटि
SE = 10/√15 = 2.582
परीक्षण सांख्यिकी
t = 8.52/2.582 = 3.3
उत्तर
t = 3.3
df = 14 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.145 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: z = −1.396
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
प्रतिदर्श अनुपात
p̂₁ = 48/120 = 0.4
p̂₂ = 40/80 = 0.5
p̂ = 88/200 = 0.44
H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि
SE = √(0.44·0.56·(1/120 + 1/80)) = 0.07165
परीक्षण सांख्यिकी
z = (0.4 − 0.5)/0.07165 = −1.396
उत्तर
z = −1.396
|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r² = 0.9586
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 91/5 = 18.2
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Syy = Σ(y − ȳ)² = 260.8
निर्धारण गुणांक
r² = 100²/(40·260.8) = 0.9586
उत्तर
r² = 0.9586
y के विचरण का लगभग 95.86% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 25.5
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 108/5 = 21.6
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
समाश्रयण रेखा
b = −26/10 = −2.6
a = 21.6 − (−2.6)·3 = 29.4
ŷ = 29.4 − 2.6·x
पूर्वानुमान
ŷ = 29.4 + (−2.6)·1.5 = 25.5
उत्तर
ŷ = 25.5
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