सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 53, 39, 47, 25, 47, 43, 30।

n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 5 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 56 से कम है?

μ = 60σ = 5x = 56
P =
3.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.3510.3520.3μ = 0.95

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
σ =
4.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.3510.320.35μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = −2X + 5। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = −2X + 5
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123zz के दाईं ओर छायांकित क्षेत्रफल = 0.9525

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.9525 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.9525
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.02 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.02 mm और मानक विचलन 0.01 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.015 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 6, sd​ = 2.10L = ?Ud̄ = 6E95%

6 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 6 और मानक विचलन 2.1 है। माध्य अंतर के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 6d̄ = 6sd = 2.195%t(5) = 2.571
निचली सीमा = mmHg
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 26, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.590%

समष्टि मानक विचलन 26 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1.5 हो?

σ = 26E = 1.590%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.1792.179t = ?df = 12

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 6 छात्र, माध्य अंक 103.5, मानक विचलन 7। समूह 2: 8 छात्र, माध्य अंक 111.2, मानक विचलन 3.5। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 6x̄₁ = 103.5s₁ = 7n₂ = 8x̄₂ = 111.2s₂ = 3.5
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 100 बनाम H₁: μ > 100 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.05 पर 100 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 30 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 103.9 है। द्वितीय प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 100μ = 103.9σ = 30n = 100α = 0.05
β = %
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy342451559661761xy465060

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2641061481610181222xy5105101520ŷ = 15

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 15 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 15
x =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 9.998

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 284/7 = 40.57

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 12.43² + (−1.571)² + 6.429² + (−15.57)² + 6.429² + 2.429² + (−10.57)² = 599.7

मानक विचलन

s = √(599.7/6) = 9.998

उत्तर

s = 9.998
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.2119

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −0.8

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119

उत्तर

P = 0.2119
3.प्रायिकता

उत्तर: σ = 0.8047

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

प्रसरण

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047

उत्तर

σ = 0.8047
4.प्रायिकता

उत्तर: σY = 1.673

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 1, Var(X) = 0.7, σX = 0.8367

रैखिक परिवर्तन

σY = |−2|·0.8367 = 1.673

उत्तर

σY = 1.673

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = −2·1 + 5 = 3।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = −1.67

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.9525 = 0.0475

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.0475 खोजें और z पढ़ें।

z = −1.67

उत्तर

z = −1.67
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8665

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665

उत्तर

P = 0.8665
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = 3.796 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 5, t = 2.571

त्रुटि सीमा

E = 2.571·2.1/√6 = 2.204

अंतराल

6 ± 2.204 → [3.796, 8.204]

उत्तर

निचली सीमा = 3.796 mmHg
8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 814

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.645·26/1.5)² = 813

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 814

उत्तर

n = 814
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.716

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

sp² = (5·7² + 7·3.5²)/12 = 27.56
sp = 5.25

मानक त्रुटि

SE = 5.25·√(1/6 + 1/8) = 2.835

परीक्षण सांख्यिकी

t = (103.5 − 111.2)/2.835 = −2.716

उत्तर

t = −2.716

df = 12 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.179 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: β = 63.5 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 30/√100 = 3
x̄c = 100 + 1.645·3 = 104.9

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (104.9 − 103.9)/3 = 0.345

द्वितीय प्रकार की त्रुटि

शक्ति = P(Z > 0.345) = 36.5%
β = 100% − 36.5% = 63.5%

उत्तर

β = 63.5%
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.919

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 274/5 = 54.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48
Syy = Σ(y − ȳ)² = 272.8

सहसंबंध गुणांक

r = 48/√(10·272.8) = 0.919

उत्तर

r = 0.919
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 7.44

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 86/6 = 14.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

समाश्रयण रेखा

b = 106/70 = 1.514
a = 14.33 − 1.514·7 = 3.733
ŷ = 3.733 + 1.514·x

x के लिए हल करें

x = (15 − 3.733)/1.514 = 7.44

उत्तर

x = 7.44

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