सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 52, 33, 59, 37, 18, 31।

n = 6
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 50 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 65 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 50σ = 10x = 65
z =
3.प्रायिकतामध्यम
n = 8k = 3N = ?

8 लोगों के समूह से 3 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 8k = 3
N =
4.प्रायिकताकठिन
n = 7, p = 0.1: P(X ≤ 1) = ?k01234567

7 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 7p = 0.1
P =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123z−z और z के बीच छायांकित क्षेत्रफल = 0.9576

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.9576 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.9576
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
10 g0X − Y?

लाइन 1 के उत्पाद का द्रव्यमान X और लाइन 2 के उत्पाद का Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 500 g और मानक विचलन 8 g है, Y का माध्य 490 g और मानक विचलन 6 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 80 फ़ोन, माध्य 132.5 h, ज्ञात मानक विचलन 20 h। मॉडल 2: 40 फ़ोन, माध्य 124.5 h, ज्ञात मानक विचलन 5 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 80x̄₁ = 132.5 hσ₁ = 20 hn₂ = 40x̄₂ = 124.5 hσ₂ = 5 h95%
ऊपरी सीमा = h
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p ≈ 0.2, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0599%

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.2 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.05 हो?

p ≈ 0.2E = 0.0599%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.3652.365t = ?df = 7

8 कर्मचारी एक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम से पहले और बाद में टाइपिंग परीक्षा देते हैं। हर व्यक्ति के लिए अंतर d = बाद − पहले (शब्द प्रति मिनट) दर्ज किया जाता है। माध्य अंतर 1.86 और अंतरों का मानक विचलन 3.1 है। H₀: μd = 0 के लिए युग्मित परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n = 8d̄ = 1.86sd = 3.1
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 500 बनाम H₁: μ > 500 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.10 पर 25 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 12.5 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 504.75 है। द्वितीय प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 500μ = 504.75σ = 12.5n = 25α = 0.10
β = %
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy248356470569680788xy2466080

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 27Σy = 411Σx² = 139Σy² = 29245Σxy = 1985
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy1202203144135968xy246101520x = 3.5

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (3.5, 10) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(3.5, 10)
e =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.91

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 230/6 = 38.33

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 13.67² + (−5.333)² + 20.67² + (−1.333)² + (−20.33)² + (−7.333)² = 1111

मानक विचलन

s = √(1111/5) = 14.91

उत्तर

s = 14.91
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 1.5

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (65 − 50)/10 = 1.5

उत्तर

z = 1.5
3.प्रायिकता

उत्तर: N = 56

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56

उत्तर

N = 56
4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.8503

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.97 = 0.4783
P(X = 1) = 7·0.1·0.96 = 0.372

जोड़ें

P = 0.4783 + 0.372 = 0.8503

उत्तर

P = 0.8503
5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 2.03

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.9576)/2 = 0.9788

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.9788 खोजें और z पढ़ें।

z = 2.03

उत्तर

z = 2.03
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/10 = −1

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 12.65 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 132.5 − 124.5 = 8

मानक त्रुटि

SE = √(20²/80 + 5²/40) = 2.372

त्रुटि सीमा

E = 1.96·2.372 = 4.649

अंतराल

8 ± 4.649 → [3.351, 12.65]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 12.65 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 425

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 2.576²·0.2·0.8/0.05² = 424.7

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 425

उत्तर

n = 425
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.697

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

माध्य अंतर की मानक त्रुटि

SE = 3.1/√8 = 1.096

परीक्षण सांख्यिकी

t = 1.86/1.096 = 1.697

उत्तर

t = 1.697

df = 7 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.365 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: β = 26.83 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 12.5/√25 = 2.5
x̄c = 500 + 1.282·2.5 = 503.2

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (503.2 − 504.75)/2.5 = −0.618

द्वितीय प्रकार की त्रुटि

शक्ति = P(Z > −0.618) = 73.17%
β = 100% − 73.17% = 26.83%

उत्तर

β = 26.83%
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9804

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 1985 − 27·411/6 = 135.5
Sxx = 139 − 27²/6 = 17.5
Syy = 29245 − 411²/6 = 1092

सहसंबंध गुणांक

r = 135.5/√(17.5·1092) = 0.9804

उत्तर

r = 0.9804
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −4

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 84/6 = 14

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47

समाश्रयण रेखा

b = −47/17.5 = −2.686
a = 14 − (−2.686)·3.5 = 23.4
ŷ = 23.4 − 2.686·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = 23.4 + (−2.686)·3.5 = 14

अवशिष्ट

e = 10 − 14 = −4

उत्तर

e = −4

बिंदु रेखा के नीचे है।

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