सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
20253035404550

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 31, 18, 52, 24, 27, 30, 46।

n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 85 से अधिक है?

μ = 100σ = 10x = 85
P =
3.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 2 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 2
P =
4.प्रायिकताकठिन
n = 10, p = 0.4: P(X = 3) = ?k012345678910

एक परीक्षा में 10 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.4 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 3 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 10p = 0.4k = 3
P =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
32 min35.1 minX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 12 min और मानक विचलन 1.5 min है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 20 min और मानक विचलन 2 min है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 35.1 min से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 35.1 min
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
0.05 mm0D − d?

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.05 mm और मानक विचलन 0.01 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.05 mm, σ = 0.01 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 2.690%, n = 100x̄E₂ = ?95%, n = 25

ज्ञात σ और 100 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 2.6 है। 25 प्रेक्षणों पर आधारित 95% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

90%n₁ = 100E₁ = 2.695%n₂ = 25
E₂ =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.590%

समष्टि मानक विचलन 8 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1.5 हो?

σ = 8E = 1.590%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −2.13102.131

16 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 109 और प्रतिदर्श मानक विचलन 20 है। H₀: μ = 120 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 120x̄ = 109s = 20n = 16
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
−1.961.96z = ?

एक परीक्षण में उपचार A वाले 200 में से 70 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 300 में से 114 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।

x₁ = 70n₁ = 200x₂ = 114n₂ = 300
z =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy3605677719781187xy51060708090

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy35256677498511101xy5106080100x = 8

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 8 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 8
ŷ =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.14

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 228/7 = 32.57

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−1.571)² + (−14.57)² + 19.43² + (−8.571)² + (−5.571)² + (−2.571)² + 13.43² = 883.7

मानक विचलन

s = √(883.7/6) = 12.14

उत्तर

s = 12.14
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.9332

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332

उत्तर

P = 0.9332
3.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.3056

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056

उत्तर

P = 0.3056
4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.215

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 3) = 120·0.43·0.67 = 120·0.064·0.02799 = 0.215

उत्तर

P = 0.215
5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1075

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

मानकीकृत करें

z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075

उत्तर

P = 0.1075
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9875

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02236 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.05)/0.02236 = −2.24

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−2.24) = 0.9875

उत्तर

P = 0.9875
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 6.196

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(100/25) = 2.383

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 2.6·2.383 = 6.196

उत्तर

E₂ = 6.196
8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 77

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.645·8/1.5)² = 76.97

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 77

उत्तर

n = 77
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −2.2

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

परीक्षण सांख्यिकी

t = (109 − 120)/5 = −2.2

उत्तर

t = −2.2
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| > 2.131, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: z = −0.6814

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

प्रतिदर्श अनुपात

p̂₁ = 70/200 = 0.35
p̂₂ = 114/300 = 0.38
p̂ = 184/500 = 0.368

H₀ के अंतर्गत मानक त्रुटि

SE = √(0.368·0.632·(1/200 + 1/300)) = 0.04402

परीक्षण सांख्यिकी

z = (0.35 − 0.38)/0.04402 = −0.6814

उत्तर

z = −0.6814

|z| < 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9922

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 363/5 = 72.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Syy = Σ(y − ȳ)² = 429.2

सहसंबंध गुणांक

r = 130/√(40·429.2) = 0.9922

उत्तर

r = 0.9922
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 81.45

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 378/5 = 75.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234

समाश्रयण रेखा

b = 234/40 = 5.85
a = 75.6 − 5.85·7 = 34.65
ŷ = 34.65 + 5.85·x

पूर्वानुमान

ŷ = 34.65 + 5.85·8 = 81.45

उत्तर

ŷ = 81.45

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