सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
15202530354045

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 12, 19, 17, 48, 26।

n = 5
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 100 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 112.5 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 100σ = 10x = 112.5
z =
3.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2?3?4?5P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 5 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 5
P =
4.प्रायिकताकठिन
xp(x)00.320.3540.2560.1μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 5X − 3। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.35, 0.25, 0.1Y = 5X − 3
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
−3−2−10123z−z और z के बीच छायांकित क्षेत्रफल = 0.5705

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.5705 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.5705
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
μ = 100x = ?5%

IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 5% आते हैं (5वाँ शततमक)।

μ = 100σ = 15P = 5%
x = अंक
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 30 फ़ोन, माध्य 121.5 h, ज्ञात मानक विचलन 16 h। मॉडल 2: 40 फ़ोन, माध्य 124.5 h, ज्ञात मानक विचलन 19 h। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 30x̄₁ = 121.5 hσ₁ = 16 hn₂ = 40x̄₂ = 124.5 hσ₂ = 19 h95%
निचली सीमा = h
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 30σ = ?Us = 1.195%

30 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 1.1 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 29 के साथ χ² बंटन का 2.5% 16.047 से नीचे और 2.5% 45.722 से ऊपर है।

n = 30s = 1.1 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.98401.984

100 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 100.5 और प्रतिदर्श मानक विचलन 4 है। H₀: μ = 100 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 100x̄ = 100.5s = 4n = 100
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0.01βσ = 15, शक्ति 90%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 90% शक्ति के साथ माध्य में 3 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 15 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 90%δ = 3σ = 15zα = 2.326zβ = 1.282
n =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy2841261581710241226xy5101020

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 42Σy = 102Σx² = 364Σy² = 1974Σxy = 842
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy21141562783310391249xy5102040x = 11

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 11 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 11
ŷ =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 14.12

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 122/5 = 24.4

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−12.4)² + (−5.4)² + (−7.4)² + 23.6² + 1.6² = 797.2

मानक विचलन

s = √(797.2/4) = 14.12

उत्तर

s = 14.12
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 1.25

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (112.5 − 100)/10 = 1.25

उत्तर

z = 1.25
3.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5981

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981

उत्तर

P = 0.5981
4.प्रायिकता

उत्तर: σY = 9.631

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 2.3, Var(X) = 3.71, σX = 1.926

रैखिक परिवर्तन

σY = |5|·1.926 = 9.631

उत्तर

σY = 9.631

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 5·2.3 − 3 = 8.5।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.79

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.5705)/2 = 0.7852

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.7852 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.79

उत्तर

z = 0.79
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 75.33 अंक

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

वापस x पर

x = 100 + −1.645·15 = 75.33 अंक

उत्तर

x = 75.33 अंक
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −11.21 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 121.5 − 124.5 = −3

मानक त्रुटि

SE = √(16²/30 + 19²/40) = 4.19

त्रुटि सीमा

E = 1.96·4.19 = 8.213

अंतराल

−3 ± 8.213 → [−11.21, 5.213]

उत्तर

निचली सीमा = −11.21 h

अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 0.8761 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 29·1.1² = 35.09

σ² की सीमाएँ

35.09/45.722 = 0.7675
35.09/16.047 = 2.187

σ की सीमा

σ = √0.7675 = 0.8761 µm

उत्तर

σ = 0.8761 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [0.8761, 1.479] µm।

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.25

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 4/√100 = 4/10 = 0.4

परीक्षण सांख्यिकी

t = (100.5 − 100)/0.4 = 1.25

उत्तर

t = 1.25
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| < 1.984, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 326

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 1.282)·15/3)² = 325.4

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 326

उत्तर

n = 326
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9875

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 842 − 42·102/6 = 128
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1974 − 102²/6 = 240

सहसंबंध गुणांक

r = 128/√(70·240) = 0.9875

उत्तर

r = 0.9875
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 44.31

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 174/6 = 29

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 268

समाश्रयण रेखा

b = 268/70 = 3.829
a = 29 − 3.829·7 = 2.2
ŷ = 2.2 + 3.829·x

पूर्वानुमान

ŷ = 2.2 + 3.829·11 = 44.31

उत्तर

ŷ = 44.31

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