सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 20, 36, 59, 18, 57, 49।

n = 6
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 36 से अधिक है?

μ = 60σ = 20x = 36
P =
3.प्रायिकतामध्यम
P(कम से कम एक छक्का) = ??1?2P(छह) = हर फेंक पर 1/6

एक निष्पक्ष पासा 2 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 2
P =
4.प्रायिकताकठिन
€p(x)−100.84100.154900.01

एक खेल खेलने का मूल्य €10 है। आप प्रायिकता 0.15 से €20 जीतते हैं और प्रायिकता 0.01 से €500; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €10€20: p = 0.15€500: p = 0.01
E(G) = €
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
340 kg364 kgT = X₁ + … + X₄?

सामान वाले यात्री के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 85 kg और मानक विचलन 12 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 4 का कुल द्रव्यमान 364 kg से कम है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4< 364 kg
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
157164171178185192199cmनीचे 85%

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई औसत 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 85% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 178 cmσ = 7 cm85%
x = cm
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 1.199%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 50

ज्ञात σ और 50 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 1.1 है। उन्हीं आँकड़ों से 95% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

99%n₁ = 50E₁ = 1.195%
E₂ =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 24, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

समष्टि मानक विचलन 24 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 3 हो?

σ = 24E = 399%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−2.0932.093t = ?df = 19

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 15 छात्र, माध्य अंक 33.5, मानक विचलन 7.5। समूह 2: 6 छात्र, माध्य अंक 44.6, मानक विचलन 8। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 15x̄₁ = 33.5s₁ = 7.5n₂ = 6x̄₂ = 44.6s₂ = 8
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
z −2.57602.576

49 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 108.6 है। समष्टि मानक विचलन 20 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।

x̄ = 108.6σ = 20n = 4999%
U =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy252357458559667762xy246556065

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6
r² =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy1466178320982310826128xy15202580100120x = 15.5

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (15.5, 69) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 5(15.5, 69)
e =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 18.06

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 239/6 = 39.83

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−19.83)² + (−3.833)² + 19.17² + (−21.83)² + 17.17² + 9.167² = 1631

मानक विचलन

s = √(1631/5) = 18.06

उत्तर

s = 18.06
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8849

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1.2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849

उत्तर

P = 0.8849
3.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.3056

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056

उत्तर

P = 0.3056
4.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = −2 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 10 (p = 0.15), 490 (p = 0.01), −10 (p = 0.84)

प्रत्याशित मान

E(G) = 10·0.15 + 490·0.01 − 10·0.84 = −2 €

उत्तर

E(G) = −2 €

ऋणात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आपका पैसा घटता है।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8413

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 340 kg, σT = 12·√4 = 24 kg

मानकीकृत करें

z = (364 − 340)/24 = 1

प्रायिकता

P = Φ(1) = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 185.3 cm

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.85

सारणी से z

z ≈ 1.04

मूल इकाइयों में वापस

x = 178 + 1.04·7 = 185.3 cm

उत्तर

x = 185.3 cm
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 0.837

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(50/50) = 0.7609

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 1.1·0.7609 = 0.837

उत्तर

E₂ = 0.837
8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 425

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (2.576·24/3)² = 424.7

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 425

उत्तर

n = 425
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −3.01

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

sp² = (14·7.5² + 5·8²)/19 = 58.29
sp = 7.635

मानक त्रुटि

SE = 7.635·√(1/15 + 1/6) = 3.688

परीक्षण सांख्यिकी

t = (33.5 − 44.6)/3.688 = −3.01

उत्तर

t = −3.01

df = 19 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.093 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: U = 116

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

त्रुटि सीमा

E = 2.576·20/√49 = 7.36

अंतराल सीमा

U = 108.6 + 7.36 = 116

उत्तर

U = 116
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.739

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 355/6 = 59.17

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 126.8

निर्धारण गुणांक

r² = 40.5²/(17.5·126.8) = 0.739

उत्तर

r² = 0.739

y के विचरण का लगभग 73.9% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −5.25

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 483/5 = 96.6

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 447

समाश्रयण रेखा

b = 447/90 = 4.967
a = 96.6 − 4.967·20 = −2.733
ŷ = −2.733 + 4.967·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = −2.733 + 4.967·15.5 = 74.25

अवशिष्ट

e = 69 − 74.25 = −5.25

उत्तर

e = −5.25

बिंदु रेखा के नीचे है।

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