वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 20, 55, 18, 30, 10, 24।
n = 6
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 68.75 से अधिक है?
μ = 50σ = 15x = 68.75
P =
3.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.35, 0.3, 0.2, 0.1
σ =
4.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 3X + 1। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 3X + 1
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
बोल्ट के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 40 g और मानक विचलन 1.2 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 6 का कुल द्रव्यमान 242.9 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 6> 242.9 g
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 90% आते हैं (90वाँ शततमक)।
μ = 100σ = 15P = 90%
x = अंक
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
21 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 49.5 और मानक विचलन s = 11.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n = 21x̄ = 49.5s = 11.599%t(20) = 2.845
E =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 7 प्लॉट, माध्य उपज 54.5 kg, मानक विचलन 3 kg। प्लॉट समूह 2: 19 प्लॉट, माध्य 58 kg, मानक विचलन 3.5 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।
n₁ = 7x̄₁ = 54.5s₁ = 3n₂ = 19x̄₂ = 58s₂ = 3.595%t(24) = 2.064
निचली सीमा = kg
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 12 छात्र, माध्य अंक 23, मानक विचलन 2.5। समूह 2: 10 छात्र, माध्य अंक 20.3, मानक विचलन 5.5। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n₁ = 12x̄₁ = 23s₁ = 2.5n₂ = 10x̄₂ = 20.3s₂ = 5.5
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
α = 0.05 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 4 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 18 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।
α = 0.05शक्ति = 80%δ = 4σ = 18zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 6
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (2, 36) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।
n = 5(2, 36)
e =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 15.6
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 157/6 = 26.17
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−6.167)² + 28.83² + (−8.167)² + 3.833² + (−16.17)² + (−2.167)² = 1217
मानक विचलन
s = √(1217/5) = 15.6
उत्तर
s = 15.6
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.1056
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 1.25
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
उत्तर
P = 0.1056
3.प्रायिकता
उत्तर: σ = 1.071
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 1·0.05 + 2·0.35 + 3·0.3 + 4·0.2 + 5·0.1 = 2.95
वर्गों का माध्य
E(X²) = 1·0.05 + 4·0.35 + 9·0.3 + 16·0.2 + 25·0.1 = 9.85
प्रसरण
Var(X) = 9.85 − 2.95² = 1.147
σ = √1.147 = 1.071
उत्तर
σ = 1.071
4.प्रायिकता
उत्तर: σY = 2.414
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
रैखिक परिवर्तन
σY = |3|·0.8047 = 2.414
उत्तर
σY = 2.414
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 3·1.05 + 1 = 4.15।
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.1611
प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।
कुल का बंटन
μT = 240 g, σT = 1.2·√6 = 2.939 g
मानकीकृत करें
z = (242.9 − 240)/2.939 = 0.99
प्रायिकता
P = 1 − Φ(0.99) = 0.1611
उत्तर
P = 0.1611
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 119.2 अंक
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
वापस x पर
x = 100 + 1.282·15 = 119.22 अंक
उत्तर
x = 119.22 अंक
7.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 7.14
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
क्रांतिक मान
df = n − 1 = 20, t = 2.845
त्रुटि सीमा
E = 2.845·11.5/√21 = 7.14
उत्तर
E = 7.14
8.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: निचली सीमा = −6.586 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
संयुक्त मानक विचलन
sp² = (6·3² + 18·3.5²)/24 = 11.44
sp = 3.382
त्रुटि सीमा
E = 2.064·3.382·√(1/7 + 1/19) = 3.086
अंतराल
−3.5 ± 3.086 → [−6.586, −0.4137]
उत्तर
निचली सीमा = −6.586 kg
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 1.527
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
संयुक्त प्रसरण
sp² = (11·2.5² + 9·5.5²)/20 = 17.05
sp = 4.129
मानक त्रुटि
SE = 4.129·√(1/12 + 1/10) = 1.768
परीक्षण सांख्यिकी
t = (23 − 20.3)/1.768 = 1.527
उत्तर
t = 1.527
df = 20 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.086 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 126
परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = ((1.645 + 0.842)·18/4)² = 125.2
ऊपर पूर्णांकित करें
n = 126
उत्तर
n = 126
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9349
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 269/6 = 44.83
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 193
Syy = Σ(y − ȳ)² = 608.8
सहसंबंध गुणांक
r = 193/√(70·608.8) = 0.9349
उत्तर
r = 0.9349
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: e = 1.95
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 252/5 = 50.4
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218
समाश्रयण रेखा
b = 218/40 = 5.45
a = 50.4 − 5.45·5 = 23.15
ŷ = 23.15 + 5.45·x
पूर्वानुमानित मान
ŷ = 23.15 + 5.45·2 = 34.05
अवशिष्ट
e = 36 − 34.05 = 1.95
उत्तर
e = 1.95
बिंदु रेखा के ऊपर है।
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