सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 46, 22, 26, 46, 19, 37।

n = 6

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 60 से कम है?

μ = 50σ = 8x = 60

P =

3.प्रायिकतामध्यम

एक थैले में 6 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

6 / 6

P =

4.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 10X + 20। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.15, 0.2, 0.25, 0.35Y = 10X + 20

σ_Y =

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

डिलीवरी समय माध्य 32 min और मानक विचलन 6 min के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 20 और 33.5 min के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 33.5

P =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 90% आते हैं (90वाँ शततमक)।

μ = 100σ = 15P = 90%

x = अंक

7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 100 फ़ोन, माध्य 120.5 h, ज्ञात मानक विचलन 6 h। मॉडल 2: 60 फ़ोन, माध्य 133 h, ज्ञात मानक विचलन 4 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।

n₁ = 100x̄₁ = 120.5 hσ₁ = 6 hn₂ = 60x̄₂ = 133 hσ₂ = 4 h99%

निचली सीमा = h

8.विश्वास्यता अंतरालकठिन

दोषपूर्ण उत्पादों के अनुपात के बारे में पहले से कुछ ज्ञात नहीं है। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.04 हो?

p = 0.5E = 0.0499%

n =

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

25 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 76.92 और प्रतिदर्श मानक विचलन 8 है। H₀: μ = 75 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 75x̄ = 76.92s = 8n = 25

t =

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

16 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 74.6 है। समष्टि मानक विचलन 5 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।

x̄ = 74.6σ = 5n = 1699%

L =

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 6

r² =

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 23.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 6x = 23.5

ŷ =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 11.99

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 196/6 = 32.67

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 13.33² + (−10.67)² + (−6.667)² + 13.33² + (−13.67)² + 4.333² = 719.3

मानक विचलन

s = √(719.3/5) = 11.99

उत्तर

s = 11.99

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8944

मानकीकृत करें

z = 1.25

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

उत्तर

P = 0.8944

3.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2273

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0.2273

उत्तर

P = 0.2273

4.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 12.29

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 2.7, Var(X) = 1.51, σ_X = 1.229

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |10|·1.229 = 12.29

उत्तर

σ_Y = 12.29

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 10·2.7 + 20 = 47।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.576

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (33.5 − 32)/6 = 0.25

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.25) − Φ(−2) = 0.5987 − 0.02275 = 0.576

उत्तर

P = 0.576

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 119.2 अंक

शततमक के लिए z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

वापस x पर

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 अंक

उत्तर

x = 119.22 अंक

7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: निचली सीमा = −14.54 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 120.5 − 133 = −12.5

मानक त्रुटि

SE = √(6²/100 + 4²/60) = 0.7916

त्रुटि सीमा

E = 2.576·0.7916 = 2.039

अंतराल

−12.5 ± 2.039 → [−14.54, −10.46]

उत्तर

निचली सीमा = −14.54 h

अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 2.576²·0.5·0.5/0.04² = 1037

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 1037

उत्तर

n = 1037

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 1.2

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

परीक्षण सांख्यिकी

t = (76.92 − 75)/1.6 = 1.2

उत्तर

t = 1.2

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: L = 71.38

त्रुटि सीमा

E = 2.576·5/√16 = 3.22

अंतराल सीमा

L = 74.6 − 3.22 = 71.38

उत्तर

L = 71.38

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9516

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 486/6 = 81

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 324

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1576

निर्धारण गुणांक

r² = 324²/(70·1576) = 0.9516

उत्तर

r² = 0.9516

y के विचरण का लगभग 95.16% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 138.5

माध्य

x̄ = 141/6 = 23.5

ȳ = 831/6 = 138.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 1022

समाश्रयण रेखा

b = 1022/157.5 = 6.486

a = 138.5 − 6.486·23.5 = −13.91

ŷ = −13.91 + 6.486·x

पूर्वानुमान

ŷ = −13.91 + 6.486·23.5 = 138.5

उत्तर

ŷ = 138.5

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