सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 40, 26, 56, 48, 38।

n = 5
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 70 और मानक विचलन 20 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 40 से कम है?

μ = 70σ = 20x = 40
P =
3.प्रायिकतामध्यम
xp(x)10.0520.230.2540.350.2μ = 3.4

दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.2, 0.25, 0.3, 0.2
σ =
4.प्रायिकताकठिन
xp(x)100.3200.35300.15400.2μ

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = −2X + 4। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.35, 0.15, 0.2Y = −2X + 4
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
60 kg58.2 kgT = X₁ + … + X₅?

डिब्बे के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 12 kg और मानक विचलन 0.8 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 5 का कुल द्रव्यमान 58.2 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 5> 58.2 kg
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
157164171178185192199cmनीचे 15%

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई औसत 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 15% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 178 cmσ = 7 cm15%
x = cm
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 13, s = 20LU = ?x̄ = 35E99%

13 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 35 और मानक विचलन s = 20 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा ज्ञात कीजिए।

n = 13x̄ = 35s = 2099%t(12) = 3.055
ऊपरी सीमा =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
n = 30σ = ?Us = 11.995%

30 मशीनित शाफ़्टों के व्यासों का प्रतिदर्श मानक विचलन 11.9 µm है। व्यासों को प्रसामान्य बंटित मानते हुए समष्टि मानक विचलन के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा σ ज्ञात कीजिए। df = 29 के साथ χ² बंटन का 2.5% 16.047 से नीचे और 2.5% 45.722 से ऊपर है।

n = 30s = 11.9 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
1.8p = ?

एक समष्टि का माध्य 50 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 12 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 52.7 है। H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ > 50 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 50σ = 12n = 64x̄ = 52.7H₁: μ > μ₀
p =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 13, शक्ति 80%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 80% शक्ति के साथ माध्य में 5 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 13 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 80%δ = 5σ = 13zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy257360467573676xy2466070

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5Σx = 20Σy = 333Σx² = 90Σy² = 22443Σxy = 1383
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy142243354455565667xy24640506070ŷ = 55

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 55 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 55
x =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 11.26

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 208/5 = 41.6

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−1.6)² + (−15.6)² + 14.4² + 6.4² + (−3.6)² = 507.2

मानक विचलन

s = √(507.2/4) = 11.26

उत्तर

s = 11.26
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.06681

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −1.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681

उत्तर

P = 0.06681
3.प्रायिकता

उत्तर: σ = 1.158

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 1·0.05 + 2·0.2 + 3·0.25 + 4·0.3 + 5·0.2 = 3.4

वर्गों का माध्य

E(X²) = 1·0.05 + 4·0.2 + 9·0.25 + 16·0.3 + 25·0.2 = 12.9

प्रसरण

Var(X) = 12.9 − 3.4² = 1.34
σ = √1.34 = 1.158

उत्तर

σ = 1.158
4.प्रायिकता

उत्तर: σY = 21.79

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 22.5, Var(X) = 118.8, σX = 10.9

रैखिक परिवर्तन

σY = |−2|·10.9 = 21.79

उत्तर

σY = 21.79

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = −2·22.5 + 4 = −41।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.8438

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

कुल का बंटन

μT = 60 kg, σT = 0.8·√5 = 1.789 kg

मानकीकृत करें

z = (58.2 − 60)/1.789 = −1.01

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.01) = 0.8438

उत्तर

P = 0.8438
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 170.7 cm

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.15

सारणी से z

z ≈ −1.04

मूल इकाइयों में वापस

x = 178 − 1.04·7 = 170.7 cm

उत्तर

x = 170.7 cm
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: ऊपरी सीमा = 51.95

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 12, t = 3.055

त्रुटि सीमा

E = 3.055·20/√13 = 16.95

अंतराल

35 ± 16.95 → [18.05, 51.95]

उत्तर

ऊपरी सीमा = 51.95
8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: σ = 9.477 µm

प्रसरण के लिए अंतराल: (n − 1)s²/σ² का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला χ² है। σ² के लिए 95% अंतराल (n − 1)s² को ऊपरी χ² मान (जिसके ऊपर 2.5%) से भाग देने से लेकर (n − 1)s² को निचले χ² मान (जिसके नीचे 2.5%) से भाग देने तक जाता है; σ का अंतराल दोनों सीमाओं का वर्गमूल है। यह s के परितः सममित नहीं है।

वर्गों का योग

(n − 1)s² = 29·11.9² = 4107

σ² की सीमाएँ

4107/45.722 = 89.82
4107/16.047 = 255.9

σ की सीमा

σ = √89.82 = 9.477 µm

उत्तर

σ = 9.477 µm

σ के लिए 95% अंतराल: [9.477, 16] µm।

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.03593

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 12/√64 = 1.5
z = (52.7 − 50)/1.5 = 1.8

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.8) = 0.9641
1 − Φ(1.8) = 0.0359

p-मान

p = 0.03593

उत्तर

p = 0.03593

p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 68

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 0.842)·13/5)² = 67.84

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 68

उत्तर

n = 68
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9903

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 1383 − 20·333/5 = 51
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 22443 − 333²/5 = 265.2

सहसंबंध गुणांक

r = 51/√(10·265.2) = 0.9903

उत्तर

r = 0.9903
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 3.622

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 326/6 = 54.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

समाश्रयण रेखा

b = 96/17.5 = 5.486
a = 54.33 − 5.486·3.5 = 35.13
ŷ = 35.13 + 5.486·x

x के लिए हल करें

x = (55 − 35.13)/5.486 = 3.622

उत्तर

x = 3.622

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