सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
15202530354045

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 36, 39, 29, 12, 21, 16, 45।

n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

परीक्षा अंक माध्य 170 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 178 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 170σ = 8x = 178
z =
3.प्रायिकतामध्यम
लाल: 4नीली: 4

एक थैले में 4 लाल और 4 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

4 / 4
P =
4.प्रायिकताकठिन
n = 10, p = 0.6: P(X = 3) = ?k012345678910

एक परीक्षा में 10 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 3 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 10p = 0.6k = 3
P =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
750 g764.8 gX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 250 g और मानक विचलन 4 g है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 500 g और मानक विचलन 9 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 764.8 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 764.8 g
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
10 cm0X − Y?

किसी समूह में पुरुषों की ऊँचाई X और महिलाओं की ऊँचाई Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 180 cm और मानक विचलन 10 cm है, Y का माध्य 170 cm और मानक विचलन 12 cm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
n = 11, sd​ = 10LUd̄ = 5.3E = ?90%

11 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 5.3 और मानक विचलन 1 है। माध्य अंतर के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 11d̄ = 5.3sd = 190%t(10) = 1.812
E = mmHg
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.590%

समष्टि मानक विचलन 10 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो?

σ = 10E = 0.590%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
t −1.98401.984

100 छात्रों के प्रतिदर्श का माध्य अंक 198.3 और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 है। H₀: μ = 200 के लिए परीक्षण सांख्यिकी t ज्ञात करें।

μ₀ = 200x̄ = 198.3s = 12n = 100
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2.5 हो? मानक विचलन 8 है। सबसे छोटा प्रतिदर्श आकार n ज्ञात करें।

σ = 8E = 2.595%
n =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy33353974295411521364xy510405060

तालिका x = k€ में विज्ञापन व्यय और y = k€ में बिक्री के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 48Σy = 284Σx² = 454Σy² = 14090Σxy = 2478
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy122222319418512612xy2461520ŷ = 13

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 13 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 13
x =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.41

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 198/7 = 28.29

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 7.714² + 10.71² + 0.7143² + (−16.29)² + (−7.286)² + (−12.29)² + 16.71² = 923.4

मानक विचलन

s = √(923.4/6) = 12.41

उत्तर

s = 12.41
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 1

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = (178 − 170)/8 = 1

उत्तर

z = 1
3.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2143

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0.2143

उत्तर

P = 0.2143
4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.04247

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 3) = 120·0.63·0.47 = 120·0.216·0.001638 = 0.04247

उत्तर

P = 0.04247
5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.06681

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

मानकीकृत करें

z = (764.8 − 750)/9.849 = 1.5

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.9332 = 0.06681

उत्तर

P = 0.06681
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7389

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

उत्तर

P = 0.7389
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 0.5463 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

क्रांतिक मान

df = 10, t = 1.812

त्रुटि सीमा

E = 1.812·1/√11 = 0.5463

उत्तर

E = 0.5463 mmHg
8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 1083

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.645·10/0.5)² = 1082

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 1083

उत्तर

n = 1083
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = −1.417

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

मानक त्रुटि

SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2

परीक्षण सांख्यिकी

t = (198.3 − 200)/1.2 = −1.417

उत्तर

t = −1.417
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| < 1.984, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता (द्विपक्षीय)।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 40

माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।

n ज्ञात करें

n = (1.96·8/2.5)² = 39.34

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 40

उत्तर

n = 40
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9677

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

Sxy = 2478 − 48·284/6 = 206
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 14090 − 284²/6 = 647.3

सहसंबंध गुणांक

r = 206/√(70·647.3) = 0.9677

उत्तर

r = 0.9677
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 5.444

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 105/6 = 17.5

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40.5

समाश्रयण रेखा

b = −40.5/17.5 = −2.314
a = 17.5 − (−2.314)·3.5 = 25.6
ŷ = 25.6 − 2.314·x

x के लिए हल करें

x = (13 − 25.6)/(−2.314) = 5.444

उत्तर

x = 5.444

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