सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात: x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार: n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय: यदि |z| > 1.96 तो H₀ अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± z·σ/√n

विधि

H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल: b = S_xy/S_xx
अंतःखंड: a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
अवशिष्ट: e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 26, 26, 51, 13, 40, 26, 24।

n = 7

s =

2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

परीक्षा अंक माध्य 60 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 69 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।

μ = 60σ = 15x = 69

z =

3.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.1, 0.3, 0.25

Var(X) =

4.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 7 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.2 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 2 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 7p = 0.2k = 2

P =

5.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.2358 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.2358

z =

6.प्रसामान्य बंटनकठिन

थैलों के भार औसत 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 10% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम

10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 107 और मानक विचलन s = 14.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n = 10x̄ = 107s = 14.599%t(9) = 3.25

E =

8.विश्वास्यता अंतरालकठिन

समष्टि मानक विचलन 21 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो?

σ = 21E = 0.590%

n =

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम

दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 7 छात्र, माध्य अंक 39.5, मानक विचलन 10.5। समूह 2: 9 छात्र, माध्य अंक 28.9, मानक विचलन 2। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।

n₁ = 7x̄₁ = 39.5s₁ = 10.5n₂ = 9x̄₂ = 28.9s₂ = 2

t =

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन

H₀: μ = 200 बनाम H₁: μ < 200 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.01 पर 25 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 2.5 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 198.75 है। द्वितीय प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 200μ = 198.75σ = 2.5n = 25α = 0.01

β = %

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम

तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 6Σx = 21Σy = 120Σx² = 91Σy² = 2560Σxy = 370

r =

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 69 का पूर्वानुमान देती है?

n = 6ŷ = 69

x =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 12.33

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 206/7 = 29.43

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−3.429)² + (−3.429)² + 21.57² + (−16.43)² + 10.57² + (−3.429)² + (−5.429)² = 911.7

मानक विचलन

s = √(911.7/6) = 12.33

उत्तर

s = 12.33

2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: z = 0.6

मानकीकृत करें

z = (69 − 60)/15 = 0.6

उत्तर

z = 0.6

3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 5.79

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.35 + 2·0.1 + 4·0.3 + 6·0.25 = 2.9

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.1 + 16·0.3 + 36·0.25 = 14.2

प्रसरण

Var(X) = 14.2 − 2.9² = 5.79

उत्तर

Var(X) = 5.79

4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.2753

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 2) = 21·0.2²·0.8⁵ = 21·0.04·0.3277 = 0.2753

उत्तर

P = 0.2753

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.3

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = (1 + 0.2358)/2 = 0.6179

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.6179 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.30

उत्तर

z = 0.30

6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 243.6 g

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.1

सारणी से z

z ≈ −1.28

मूल इकाइयों में वापस

x = 250 − 1.28·5 = 243.6 g

उत्तर

x = 243.6 g

7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 14.9

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

क्रांतिक मान

df = n − 1 = 9, t = 3.25

त्रुटि सीमा

E = 3.25·14.5/√10 = 14.9

उत्तर

E = 14.9

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 4774

n ज्ञात करें

n = (1.645·21/0.5)² = 4773

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 4774

उत्तर

n = 4774

9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: t = 2.989

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

संयुक्त प्रसरण

s_p² = (6·10.5² + 8·2²)/14 = 49.54

s_p = 7.038

मानक त्रुटि

SE = 7.038·√(1/7 + 1/9) = 3.547

परीक्षण सांख्यिकी

t = (39.5 − 28.9)/3.547 = 2.989

उत्तर

t = 2.989

df = 14 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.145 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: β = 43.09 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 2.5/√25 = 0.5

x̄_c = 200 − 2.326·0.5 = 198.8

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (198.8 − 198.75)/0.5 = 0.174

द्वितीय प्रकार की त्रुटि

शक्ति = P(Z < 0.174) = 56.91%

β = 100% − 56.91% = 43.09%

उत्तर

β = 43.09%

11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = −0.9449

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

केंद्रित योग

S_xy = 370 − 21·120/6 = −50

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 2560 − 120²/6 = 160

सहसंबंध गुणांक

r = −50/√(17.5·160) = −0.9449

उत्तर

r = −0.9449

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: x = 27.6

माध्य

x̄ = 129/6 = 21.5

ȳ = 278/6 = 46.33

वर्गों और गुणनफलों के योग

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 585

समाश्रयण रेखा

b = 585/157.5 = 3.714

a = 46.33 − 3.714·21.5 = −33.52

ŷ = −33.52 + 3.714·x

x के लिए हल करें

x = (69 − (−33.52))/3.714 = 27.6

उत्तर

x = 27.6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1