वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 15, 21, 41, 49, 14, 19, 42।
n = 7
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 65 से कम है?
μ = 50σ = 10x = 65
P =
3.प्रायिकतामध्यम
7 लोगों के समूह से 3 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।
n = 7k = 3
N =
4.प्रायिकताकठिन
7 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?
n = 7p = 0.1
P =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.6970 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.6970
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
वयस्क पुरुषों की ऊँचाई औसत 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 85% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।
μ = 178 cmσ = 7 cm85%
x = cm
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
8 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श का माध्य 93.5 और मानक विचलन s = 9.5 है। समष्टि लगभग प्रसामान्य है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n = 8x̄ = 93.5s = 9.590%t(7) = 1.895
E =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 36 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.5 हो?
σ = 36E = 0.599%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 10 छात्र, माध्य अंक 39, मानक विचलन 6। समूह 2: 21 छात्र, माध्य अंक 33.5, मानक विचलन 10। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n₁ = 10x̄₁ = 39s₁ = 6n₂ = 21x̄₂ = 33.5s₂ = 10
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
25 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 102.5 है। समष्टि मानक विचलन 5 है। माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।
x̄ = 102.5σ = 5n = 2595%
L =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।
n = 5
r² =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। किस मान x के लिए रेखा ŷ = 49 का पूर्वानुमान देती है?
n = 5ŷ = 49
x =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 14.71
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 201/7 = 28.71
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−13.71)² + (−7.714)² + 12.29² + 20.29² + (−14.71)² + (−9.714)² + 13.29² = 1297
मानक विचलन
s = √(1297/6) = 14.71
उत्तर
s = 14.71
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.9332
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 1.5
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
उत्तर
P = 0.9332
3.प्रायिकता
उत्तर: N = 35
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
संचय
C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35
उत्तर
N = 35
4.प्रायिकता
उत्तर: P = 0.8503
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
शून्य और एक विफलता
P(X = 0) = 0.97 = 0.4783
P(X = 1) = 7·0.1·0.96 = 0.372
जोड़ें
P = 0.4783 + 0.372 = 0.8503
उत्तर
P = 0.8503
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = 1.03
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = (1 + 0.6970)/2 = 0.8485
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.8485 खोजें और z पढ़ें।
z = 1.03
उत्तर
z = 1.03
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 185.3 cm
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 0.85
सारणी से z
z ≈ 1.04
मूल इकाइयों में वापस
x = 178 + 1.04·7 = 185.3 cm
उत्तर
x = 185.3 cm
7.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 6.365
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
क्रांतिक मान
df = n − 1 = 7, t = 1.895
त्रुटि सीमा
E = 1.895·9.5/√8 = 6.365
उत्तर
E = 6.365
8.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 34400
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (2.576·36/0.5)² = 34400
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 34400
उत्तर
n = 34400
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = 1.599
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
संयुक्त प्रसरण
sp² = (9·6² + 20·10²)/29 = 80.14
sp = 8.952
मानक त्रुटि
SE = 8.952·√(1/10 + 1/21) = 3.439
परीक्षण सांख्यिकी
t = (39 − 33.5)/3.439 = 1.599
उत्तर
t = 1.599
df = 29 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.045 है; |t| छोटा है, इसलिए H₀ अस्वीकार नहीं किया जाता।
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: L = 100.5
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 1.96·5/√25 = 1.96
अंतराल सीमा
L = 102.5 − 1.96 = 100.5
उत्तर
L = 100.5
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r² = 0.7903
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 106/5 = 21.2
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
Syy = Σ(y − ȳ)² = 24.8
निर्धारण गुणांक
r² = −14²/(10·24.8) = 0.7903
उत्तर
r² = 0.7903
y के विचरण का लगभग 79.03% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: x = 18.41
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 323/5 = 64.6
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 306
समाश्रयण रेखा
b = 306/90 = 3.4
a = 64.6 − 3.4·23 = −13.6
ŷ = −13.6 + 3.4·x
x के लिए हल करें
x = (49 − (−13.6))/3.4 = 18.41
उत्तर
x = 18.41
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1