सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
10152025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 31, 39, 22, 58, 59, 10।

n = 6
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 50 और मानक विचलन 8 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 46 से अधिक है?

μ = 50σ = 8x = 46
P =
3.प्रायिकतामध्यम
n = 8k = 4N = ?

8 लोगों के समूह से 4 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।

n = 8k = 4
N =
4.प्रायिकताकठिन
€p(x)−20.7860.2380.02

एक खेल खेलने का मूल्य €2 है। आप प्रायिकता 0.2 से €8 जीतते हैं और प्रायिकता 0.02 से €40; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।

दाँव = €2€8: p = 0.2€40: p = 0.02
E(G) = €
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
32 min34.5 minX + Y?

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 12 min और मानक विचलन 1.5 min है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 20 min और मानक विचलन 2 min है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 34.5 min से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 34.5 min
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
235240245250255260265gनीचे 40%

थैलों के भार औसत 250 g और मानक विचलन 5 g के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 40% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 250 gσ = 5 g40%
x = g
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
x̄E₁ = 590%, n = 64x̄E₂ = ?95%, n = 64

ज्ञात σ और 64 प्रेक्षणों पर आधारित माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा 5 है। उन्हीं आँकड़ों से 95% अंतराल की त्रुटि सीमा E₂ क्या है?

90%n₁ = 64E₁ = 595%
E₂ =
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
p ≈ 0.4, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0399%

एक प्रारंभिक (पायलट) अध्ययन बताता है कि लगभग 0.4 उत्पाद दोषपूर्ण हैं। कितने उत्पादों n का निरीक्षण करना होगा ताकि अनुपात के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 0.03 हो?

p ≈ 0.4E = 0.0399%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
−1.24p = ?

एक समष्टि का माध्य 100 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 12 ज्ञात है। 144 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 98.76 है। H₀: μ = 100 बनाम H₁: μ < 100 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 100σ = 12n = 144x̄ = 98.76H₁: μ < μ₀
p =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
μ₀x̄c

H₀: μ = 500 बनाम H₁: μ > 500 का एकपक्षीय z परीक्षण α = 0.10 पर 25 के प्रतिदर्श के साथ किया जाता है; मानक विचलन 5 ज्ञात है। वास्तव में माध्य 502.4 है। द्वितीय प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता β प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 500μ = 502.4σ = 5n = 25α = 0.10
β = %
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy15851894211182413027144xy152025100120140

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा का निर्धारण गुणांक r² ज्ञात कीजिए।

n = 5
r² =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy1891219524111271273015333157xy202530100150x = 22.5

तालिका x = °C में तापमान और y = बिकी आइसक्रीम के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (22.5, 102) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।

n = 6(22.5, 102)
e =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 19.58

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 219/6 = 36.5

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−5.5)² + 2.5² + (−14.5)² + 21.5² + 22.5² + (−26.5)² = 1918

मानक विचलन

s = √(1918/5) = 19.58

उत्तर

s = 19.58
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.6915

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = −0.5

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915

उत्तर

P = 0.6915
3.प्रायिकता

उत्तर: N = 70

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

संचय

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

उत्तर

N = 70
4.प्रायिकता

उत्तर: E(G) = 0.4 €

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

शुद्ध परिणाम

G: 6 (p = 0.2), 38 (p = 0.02), −2 (p = 0.78)

प्रत्याशित मान

E(G) = 6·0.2 + 38·0.02 − 2·0.78 = 0.4 €

उत्तर

E(G) = 0.4 €

धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।

5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1587

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

मानकीकृत करें

z = (34.5 − 32)/2.5 = 1

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

उत्तर

P = 0.1587
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 248.8 g

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.4

सारणी से z

z ≈ −0.25

मूल इकाइयों में वापस

x = 250 − 0.25·5 = 248.8 g

उत्तर

x = 248.8 g
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E₂ = 5.957

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

त्रुटि सीमाओं का अनुपात

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(64/64) = 1.191

नई त्रुटि सीमा

E₂ = 5·1.191 = 5.957

उत्तर

E₂ = 5.957
8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 1770

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n ज्ञात करें

n = 2.576²·0.4·0.6/0.03² = 1770

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 1770

उत्तर

n = 1770
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.1075

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 12/√144 = 1
z = (98.76 − 100)/1 = −1.24

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(1.24) = 0.8925
1 − Φ(1.24) = 0.1075

p-मान

p = 0.1075

उत्तर

p = 0.1075

p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: β = 13.18 %

परीक्षण की शक्ति: शक्ति = 1 − β, H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता है। μ₀ और z_α से सीमा x̄c ज्ञात करें, फिर वास्तविक माध्य से x̄c से आगे आने की प्रायिकता निकालें: z = (x̄c − μ)/(σ/√n)।

क्रांतिक प्रतिदर्श माध्य

SE = 5/√25 = 1
x̄c = 500 + 1.282·1 = 501.3

वास्तविक माध्य के अंतर्गत z

z = (501.3 − 502.4)/1 = −1.118

द्वितीय प्रकार की त्रुटि

शक्ति = P(Z > −1.118) = 86.82%
β = 100% − 86.82% = 13.18%

उत्तर

β = 13.18%
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r² = 0.9829

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 571/5 = 114.2

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 462
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2413

निर्धारण गुणांक

r² = 462²/(90·2413) = 0.9829

उत्तर

r² = 0.9829

y के विचरण का लगभग 98.29% रेखा द्वारा स्पष्ट होता है।

12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: e = −5.476

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 153/6 = 25.5
ȳ = 734/6 = 122.3

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 780

समाश्रयण रेखा

b = 780/157.5 = 4.952
a = 122.3 − 4.952·25.5 = −3.952
ŷ = −3.952 + 4.952·x

पूर्वानुमानित मान

ŷ = −3.952 + 4.952·22.5 = 107.5

अवशिष्ट

e = 102 − 107.5 = −5.476

उत्तर

e = −5.476

बिंदु रेखा के नीचे है।

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