वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 17, 36, 22, 17, 41।
n = 5
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 25 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 525 से कम है?
μ = 500σ = 25x = 525
P =
3.प्रायिकतामध्यम
9 लोगों के समूह से 2 लोगों की समिति कितने तरीकों N से चुनी जा सकती है? क्रम मायने नहीं रखता।
n = 9k = 2
N =
4.प्रायिकताकठिन
एक खेल खेलने का मूल्य €2 है। आप प्रायिकता 0.25 से €8 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €100; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।
दाँव = €2€8: p = 0.25€100: p = 0.05
E(G) = €
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.6629 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
A = 0.6629
z =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
वयस्क पुरुषों की ऊँचाई औसत 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 20% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।
μ = 178 cmσ = 7 cm20%
x = cm
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
16 रोगियों का रक्तचाप एक उपचार से पहले और बाद में मापा जाता है। अंतरों d = पहले − बाद (mmHg) का माध्य 5.9 और मानक विचलन 4.5 है। माध्य अंतर के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n = 16d̄ = 5.9sd = 4.590%t(15) = 1.753
E = mmHg
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
समष्टि मानक विचलन 21 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 95% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1.5 हो?
σ = 21E = 1.595%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो शिक्षण विधियों की तुलना की जाती है। समूह 1: 24 छात्र, माध्य अंक 74, मानक विचलन 11। समूह 2: 7 छात्र, माध्य अंक 87.2, मानक विचलन 3.5। समान समष्टि प्रसरण मानें और संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण का उपयोग करें। अंतर को x̄₁ − x̄₂ (समूह 1 घटा समूह 2) लेते हुए H₀: μ₁ = μ₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज t ज्ञात कीजिए।
n₁ = 24x̄₁ = 74s₁ = 11n₂ = 7x̄₂ = 87.2s₂ = 3.5
t =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
100 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 47.1 है। समष्टि मानक विचलन 15 है। माध्य के 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा L ज्ञात करें।
x̄ = 47.1σ = 15n = 10099%
L =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 6 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 6Σx = 21Σy = 104Σx² = 91Σy² = 1862Σxy = 335
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = वर्षों में कार की आयु और y = k€ में मूल्य के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 1.5 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
n = 5x = 1.5
ŷ =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 11.19
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 133/5 = 26.6
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−9.6)² + 9.4² + (−4.6)² + (−9.6)² + 14.4² = 501.2
मानक विचलन
s = √(501.2/4) = 11.19
उत्तर
s = 11.19
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.8413
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = 1
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
उत्तर
P = 0.8413
3.प्रायिकता
उत्तर: N = 36
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
संचय
C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36
उत्तर
N = 36
4.प्रायिकता
उत्तर: E(G) = 5 €
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
शुद्ध परिणाम
G: 6 (p = 0.25), 98 (p = 0.05), −2 (p = 0.7)
प्रत्याशित मान
E(G) = 6·0.25 + 98·0.05 − 2·0.7 = 5 €
उत्तर
E(G) = 5 €
धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: z = 0.96
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
z के बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = (1 + 0.6629)/2 = 0.8315
z-सारणी को उलटा पढ़ें
सारणी के भीतर 0.8315 खोजें और z पढ़ें।
z = 0.96
उत्तर
z = 0.96
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 183.9 cm
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
बाईं ओर का क्षेत्रफल
Φ(z) = 0.8
सारणी से z
z ≈ 0.84
मूल इकाइयों में वापस
x = 178 + 0.84·7 = 183.9 cm
उत्तर
x = 183.9 cm
7.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 1.972 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
क्रांतिक मान
df = 15, t = 1.753
त्रुटि सीमा
E = 1.753·4.5/√16 = 1.972
उत्तर
E = 1.972 mmHg
8.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: n = 753
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
n ज्ञात करें
n = (1.96·21/1.5)² = 753
ऊपर पूर्णांकित करें
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
n = 753
उत्तर
n = 753
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: t = −3.096
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
संयुक्त प्रसरण
sp² = (23·11² + 6·3.5²)/29 = 98.5
sp = 9.925
मानक त्रुटि
SE = 9.925·√(1/24 + 1/7) = 4.263
परीक्षण सांख्यिकी
t = (74 − 87.2)/4.263 = −3.096
उत्तर
t = −3.096
df = 29 के साथ द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान 2.045 है; |t| बड़ा है, इसलिए H₀ अस्वीकार किया जाता है।
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: L = 43.24
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 2.576·15/√100 = 3.864
अंतराल सीमा
L = 47.1 − 3.864 = 43.24
उत्तर
L = 43.24
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = −0.9
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
केंद्रित योग
Sxy = 335 − 21·104/6 = −29
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 1862 − 104²/6 = 59.33
सहसंबंध गुणांक
r = −29/√(17.5·59.33) = −0.9
उत्तर
r = −0.9
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: ŷ = 25.95
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 102/5 = 20.4
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37
समाश्रयण रेखा
b = −37/10 = −3.7
a = 20.4 − (−3.7)·3 = 31.5
ŷ = 31.5 − 3.7·x
पूर्वानुमान
ŷ = 31.5 + (−3.7)·1.5 = 25.95
उत्तर
ŷ = 25.95
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