सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य
x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका
क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन
±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रायिकता

पूरक
P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर
z = (x − μ)/σ
x से कम
P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक
P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में
Φ(z2) − Φ(z1)
शततमक
x = μ + z·σ

विधि

  1. मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
  2. Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
  3. दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
  4. शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

विश्वास्यता अंतराल

σ ज्ञात
x̄ ± z·σ/√n
σ अज्ञात
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
क्रांतिक z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
प्रतिदर्श आकार
n = (z·σ/E)², rounded up

विधि

  1. z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
  2. विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
  3. त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
  4. अंतराल: x̄ ± E।

परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

माध्य के लिए z-परीक्षण
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
माध्य के लिए t-परीक्षण
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% पर द्वि-पक्षीय
यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
विश्वास्यता अंतराल
x̄ ± z·σ/√n

विधि

  1. H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
  2. परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
  3. क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
  4. यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।

रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

वर्गों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ढाल
b = Sxy/Sxx
अंतःखंड
a = ȳ − b·x̄
सहसंबंध
r = Sxy/√(SxxSyy)
अवशिष्ट
e = y − ŷ

2अभ्यास प्रश्न

1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
2025303540455055

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 56, 55, 58, 39, 20।

n = 5
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
z −2−1012

एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 12 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 104.8 से कम है?

μ = 100σ = 12x = 104.8
P =
3.प्रायिकतामध्यम
xp(x)00.310.3520.35μ = 1.05

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
Var(X) =
4.प्रायिकताकठिन
n = 11, p = 0.1: P(X ≤ 1) = ?k01234567891011

11 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.1 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?

n = 11p = 0.1
P =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
171.35190.95P = ?

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 171.35 और 190.95 cm के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 178σ = 7x1 = 171.35x2 = 190.95
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
35455565758595अंकऊपर 90%

परीक्षा अंक औसत 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 90% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।

μ = 65 अंकσ = 10 अंक90%
x = अंक
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 60 फ़ोन, माध्य 52 h, ज्ञात मानक विचलन 5 h। मॉडल 2: 100 फ़ोन, माध्य 49.5 h, ज्ञात मानक विचलन 19 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।

n₁ = 60x̄₁ = 52 hσ₁ = 5 hn₂ = 100x̄₂ = 49.5 hσ₂ = 19 h99%
E = h
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
σ = 17, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

समष्टि मानक विचलन 17 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 1 हो?

σ = 17E = 190%
n =
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
2.38p = ?

एक समष्टि का माध्य 120 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 4 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 121.19 है। H₀: μ = 120 बनाम H₁: μ > 120 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।

μ₀ = 120σ = 4n = 64x̄ = 121.19H₁: μ > μ₀
p =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0.01βσ = 7, शक्ति 90%, n = ?

α = 0.01 पर एक एकपक्षीय z परीक्षण को 90% शक्ति के साथ माध्य में 3 इकाइयों का विचलन पकड़ना है। मानक विचलन 7 है। न्यूनतम प्रतिदर्श आकार n ज्ञात कीजिए।

α = 0.01शक्ति = 90%δ = 3σ = 7zα = 2.326zβ = 1.282
n =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
xy26466128151015xy5101015

तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।

n = 5
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
xy2514566648741077xy51050607080x = 7

तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 7 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।

n = 5x = 7
ŷ =

3विलयन

1.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.2

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 228/5 = 45.6

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 10.4² + 9.4² + 12.4² + (−6.6)² + (−25.6)² = 1049

मानक विचलन

s = √(1049/4) = 16.2

उत्तर

s = 16.2
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.6554

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

मानकीकृत करें

z = 0.4

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554

उत्तर

P = 0.6554
3.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 0.6475

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

प्रसरण

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

उत्तर

Var(X) = 0.6475
4.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.6974

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

शून्य और एक विफलता

P(X = 0) = 0.911 = 0.3138
P(X = 1) = 11·0.1·0.910 = 0.3835

जोड़ें

P = 0.3138 + 0.3835 = 0.6974

उत्तर

P = 0.6974
5.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7968

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (171.35 − 178)/7 = −0.95
z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(1.85) − Φ(−0.95) = 0.9678 − 0.1711 = 0.7968

उत्तर

P = 0.7968
6.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: x = 52.2 अंक

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 0.1

सारणी से z

z ≈ −1.28

मूल इकाइयों में वापस

x = 65 − 1.28·10 = 52.2 अंक

उत्तर

x = 52.2 अंक
7.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: E = 5.169 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

बिंदु अनुमान

x̄₁ − x̄₂ = 52 − 49.5 = 2.5

मानक त्रुटि

SE = √(5²/60 + 19²/100) = 2.007

त्रुटि सीमा

E = 2.576·2.007 = 5.169

उत्तर

E = 5.169 h

अंतराल में 0 है, इसलिए आँकड़े कोई सार्थक अंतर नहीं दिखाते।

8.विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 783

माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = (1.645·17/1)² = 782

ऊपर पूर्णांकित करें

प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।

n = 783

उत्तर

n = 783
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: p = 0.008656

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

परीक्षण सांख्यिकी

SE = σ/√n = 4/√64 = 0.5
z = (121.19 − 120)/0.5 = 2.38

पुच्छ क्षेत्रफल

Φ(2.38) = 0.9913
1 − Φ(2.38) = 0.0087

p-मान

p = 0.008656

उत्तर

p = 0.008656

p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।

10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल

उत्तर: n = 71

परीक्षण के लिए प्रतिदर्श आकार: स्तर α पर एकपक्षीय z परीक्षण में शक्ति 1 − β के साथ वास्तविक विचलन δ पकड़ने के लिए मानक त्रुटि को δ = (z_α + z_β)·σ/√n पूरा करना होगा, इसलिए n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², ऊपर की ओर पूर्णांकित।

n ज्ञात करें

n = ((2.326 + 1.282)·7/3)² = 70.87

ऊपर पूर्णांकित करें

n = 71

उत्तर

n = 71
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: r = 0.9383

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 54/5 = 10.8

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 82.8

सहसंबंध गुणांक

r = 54/√(40·82.8) = 0.9383

उत्तर

r = 0.9383
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध

उत्तर: ŷ = 67.9

न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।

माध्य

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 322/5 = 64.4

वर्गों और गुणनफलों के योग

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

समाश्रयण रेखा

b = 140/40 = 3.5
a = 64.4 − 3.5·6 = 43.4
ŷ = 43.4 + 3.5·x

पूर्वानुमान

ŷ = 43.4 + 3.5·7 = 67.9

उत्तर

ŷ = 67.9

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