वर्णनात्मक सांख्यिकी
- माध्य
- x̄ = Σx/n
- प्रतिदर्श मानक विचलन
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- माध्यिका
- क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- प्रसामान्य बंटन
- ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%
सांख्यिकी का परिचय: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
प्रायिकता
- पूरक
- P(not A) = 1 − P(A)
- योग नियम
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- स्वतंत्र घटनाएँ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- सप्रतिबंध प्रायिकता
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- द्विपद
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
प्रसामान्य बंटन
- z-स्कोर
- z = (x − μ)/σ
- x से कम
- P(X < x) = Φ(z)
- x से अधिक
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- बीच में
- Φ(z2) − Φ(z1)
- शततमक
- x = μ + z·σ
विधि
- मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
- Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
- दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
- शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।
विश्वास्यता अंतराल
- σ ज्ञात
- x̄ ± z·σ/√n
- σ अज्ञात
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- क्रांतिक z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- प्रतिदर्श आकार
- n = (z·σ/E)², rounded up
विधि
- z (समष्टि σ ज्ञात) और t (केवल प्रतिदर्श s, n − 1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ) में से चुनें।
- विश्वास्यता स्तर के लिए क्रांतिक मान ज्ञात करें।
- त्रुटि सीमा: E = क्रांतिक मान × मानक विचलन/√n।
- अंतराल: x̄ ± E।
परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
- माध्य के लिए z-परीक्षण
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- माध्य के लिए t-परीक्षण
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% पर द्वि-पक्षीय
- यदि |z| > 1.96 तो H0 अस्वीकार करें
- विश्वास्यता अंतराल
- x̄ ± z·σ/√n
विधि
- H₀ और H₁ बताएँ और तय करें कि परीक्षण एकपक्षीय है या द्विपक्षीय।
- परीक्षण प्रतिदर्शज निकालें: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या s और t के साथ।
- क्रांतिक मान से तुलना करें, या p-मान ज्ञात करें।
- यदि प्रतिदर्शज क्रांतिक मान से आगे है (p, α से कम) तो H₀ अस्वीकार करें, और निष्कर्ष शब्दों में बताएँ।
रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
- वर्गों के योग
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ढाल
- b = Sxy/Sxx
- अंतःखंड
- a = ȳ − b·x̄
- सहसंबंध
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- अवशिष्ट
- e = y − ŷ
2अभ्यास प्रश्न
1.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 13, 36, 25, 20, 38।
n = 5
s =
2.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन
एक राशि माध्य 170 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 147.5 से अधिक है?
μ = 170σ = 15x = 147.5
P =
3.प्रायिकतामध्यम
दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.1, 0.35, 0.15, 0.05
Var(X) =
4.प्रायिकताकठिन
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 5X + 4। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 5X + 4
σY =
5.प्रसामान्य बंटनमध्यम
डिब्बे के द्रव्यमान स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं, जिनका माध्य 12 kg और मानक विचलन 0.8 kg है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि उनमें से 4 का कुल द्रव्यमान 49.6 kg से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 4> 49.6 kg
P =
6.प्रसामान्य बंटनकठिन
वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 75% आते हैं (75वाँ शततमक)।
μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
7.विश्वास्यता अंतरालमध्यम
दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 80 फ़ोन, माध्य 146.5 h, ज्ञात मानक विचलन 14 h। मॉडल 2: 50 फ़ोन, माध्य 156.5 h, ज्ञात मानक विचलन 14 h। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।
n₁ = 80x̄₁ = 146.5 hσ₁ = 14 hn₂ = 50x̄₂ = 156.5 hσ₂ = 14 h99%
निचली सीमा = h
8.विश्वास्यता अंतरालकठिन
दो उर्वरकों का परीक्षण किया जाता है। प्लॉट समूह 1: 16 प्लॉट, माध्य उपज 88.5 kg, मानक विचलन 5.5 kg। प्लॉट समूह 2: 10 प्लॉट, माध्य 81 kg, मानक विचलन 9 kg। समान प्रसरण मानें (संयुक्त t, df = n₁ + n₂ − 2)। μ₁ − μ₂ के लिए 99% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा E ज्ञात कीजिए।
n₁ = 16x̄₁ = 88.5s₁ = 5.5n₂ = 10x̄₂ = 81s₂ = 999%t(24) = 2.797
E = kg
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालमध्यम
एक समष्टि का माध्य 50 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 36 ज्ञात है। 144 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 42.68 है। H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ ≠ 50 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
μ₀ = 50σ = 36n = 144x̄ = 42.68H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतरालकठिन
36 मापों के प्रतिदर्श का माध्य 197.5 है। समष्टि मानक विचलन 10 है। माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा U ज्ञात करें।
x̄ = 197.5σ = 10n = 3690%
U =
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधमध्यम
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
n = 5Σx = 30Σy = 92Σx² = 220Σy² = 1938Σxy = 650
r =
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंधकठिन
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। एक नया प्रेक्षण (3, 11) लिया गया है। इसका अवशिष्ट e = y − ŷ ज्ञात कीजिए।
n = 5(3, 11)
e =
3विलयन
1.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: s = 10.6
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
माध्य
x̄ = 132/5 = 26.4
विचलनों के वर्ग
Σ(x − x̄)² = (−13.4)² + 9.6² + (−1.4)² + (−6.4)² + 11.6² = 449.2
मानक विचलन
s = √(449.2/4) = 10.6
उत्तर
s = 10.6
2.वर्णनात्मक सांख्यिकी
उत्तर: P = 0.9332
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
मानकीकृत करें
z = −1.5
मानक प्रसामान्य सारणी
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
उत्तर
P = 0.9332
3.प्रायिकता
उत्तर: Var(X) = 1.548
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य
μ = 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.35 + 4·0.15 + 5·0.05 = 2.45
वर्गों का माध्य
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.35 + 16·0.15 + 25·0.05 = 7.55
प्रसरण
Var(X) = 7.55 − 2.45² = 1.548
उत्तर
Var(X) = 1.548
4.प्रायिकता
उत्तर: σY = 4.023
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
X का फैलाव
μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
रैखिक परिवर्तन
σY = |5|·0.8047 = 4.023
उत्तर
σY = 4.023
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 5·1.05 + 4 = 9.25।
5.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: P = 0.1587
प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μX ± μY। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σX² + σY², इसलिए σ = √(σX² + σY²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।
कुल का बंटन
μT = 48 kg, σT = 0.8·√4 = 1.6 kg
मानकीकृत करें
z = (49.6 − 48)/1.6 = 1
प्रायिकता
P = 1 − Φ(1) = 0.1587
उत्तर
P = 0.1587
6.प्रसामान्य बंटन
उत्तर: x = 182.7 cm
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
शततमक के लिए z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
वापस x पर
x = 178 + 0.6745·7 = 182.72 cm
उत्तर
x = 182.72 cm
7.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: निचली सीमा = −16.5 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
बिंदु अनुमान
x̄₁ − x̄₂ = 146.5 − 156.5 = −10
मानक त्रुटि
SE = √(14²/80 + 14²/50) = 2.524
त्रुटि सीमा
E = 2.576·2.524 = 6.502
अंतराल
−10 ± 6.502 → [−16.5, −3.498]
उत्तर
निचली सीमा = −16.5 h
अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।
8.विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: E = 7.915 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
संयुक्त मानक विचलन
sp² = (15·5.5² + 9·9²)/24 = 49.28
sp = 7.02
त्रुटि सीमा
E = 2.797·7.02·√(1/16 + 1/10) = 7.915
उत्तर
E = 7.915 kg
9.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: p = 0.01469
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
परीक्षण सांख्यिकी
SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (42.68 − 50)/3 = −2.44
पुच्छ क्षेत्रफल
Φ(2.44) = 0.9927
1 − Φ(2.44) = 0.0073
p-मान
p = 2·0.0073 = 0.01469
उत्तर
p = 0.01469
p ≤ 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है।
10.परिकल्पना परीक्षण और विश्वास्यता अंतराल
उत्तर: U = 200.2
माध्य का परीक्षण: परीक्षण सांख्यिकी मापती है कि प्रतिदर्श माध्य H₀ में दावा किए गए मान से कितनी मानक त्रुटियाँ दूर है: σ ज्ञात हो तो z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), प्रतिदर्श से अनुमानित हो तो t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)। विश्वास्यता अंतराल x̄ ± (क्रांतिक मान)·(मानक त्रुटि) है।
त्रुटि सीमा
E = 1.645·10/√36 = 2.742
अंतराल सीमा
U = 197.5 + 2.742 = 200.2
उत्तर
U = 200.2
11.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: r = 0.9895
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
केंद्रित योग
Sxy = 650 − 30·92/5 = 98
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1938 − 92²/5 = 245.2
सहसंबंध गुणांक
r = 98/√(40·245.2) = 0.9895
उत्तर
r = 0.9895
12.रैखिक समाश्रयण और सहसंबंध
उत्तर: e = 2.5
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
माध्य
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 74/5 = 14.8
वर्गों और गुणनफलों के योग
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84
समाश्रयण रेखा
b = 84/40 = 2.1
a = 14.8 − 2.1·6 = 2.2
ŷ = 2.2 + 2.1·x
पूर्वानुमानित मान
ŷ = 2.2 + 2.1·3 = 8.5
अवशिष्ट
e = 11 − 8.5 = 2.5
उत्तर
e = 2.5
बिंदु रेखा के ऊपर है।
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